Warum werden Wellenfunktionen in der Quantenmechanik als komplexe kreisförmige Wellen statt als echte ebene Wellen dargestellt?

Ich lerne derzeit Quantenmechanik aus Online-Videovorträgen und -ressourcen. In den meisten Webartikeln und Videos werden die Wellenfunktionen als kreisförmige Wellen dargestellt e ich ω T statt planare Wellen Sünde ⁡ ω T .

[Anmerkung: Ich betrachte eine feste Position und damit die Gleichung e ich ( k ⋅ R + ω T ) reduziert zu e ich ω T ]

Einige Beispiele aus dem Netz:

Dieses Video zeigt die zu drehende Wellenamplitude um die Position (also eine Kreiswelle gem e ich ω T ): Visualisierung von Quantenwellenfunktionen

Der Wikipedia-Artikel zur Schrödinger-Gleichung beschreibt die ebene Welle anhand e ich ( k ⋅ R + ω T ) anstatt Sünde ⁡ ω T obwohl sie es eine ebene Welle nennen: Schrödinger-Gleichung

In diesem Video basiert die Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer Kreiswelle: Quantenmechanik 1 Vorlesung 3

Eine (komplexe) ebene Welle ist definiert e k ⋅ R + ω T = cos ⁡ ( k ⋅ R + ω T ) + ich Sünde ⁡ ( k ⋅ R + ω T ) . Beachten Sie die fette Schrift, was bedeutet, dass Ort und Impuls Vektoren sind. Wikipedia hat Recht. Eine kreisförmige Welle ist etwas anderes.
Entschuldigung, in meinem Kommentar ist ein Tippfehler. Ich meine e ich ( k ⋅ R + ω T )
Ich betrachte die Amplitude an einer bestimmten Position. Kannst du also ignorieren k ⋅ R . Wenn ich das richtig verstanden habe, cos ⁡ ω T + ich Sünde ⁡ ω T stellt einen rotierenden Amplitudenvektor auf der YZ-Seite dar, wobei die reelle Komponente in die Y-Achse zeigt und die imaginäre Komponente in die z-Achse zeigt. (laut Video youtube.com/watch?v=KKr91v7yLcM ).
warum y und z achsen? Was ist das Besondere an y und z? Die Wellenfunktion ist in diesem Fall kein Vektor, sondern ein Skalar.
wobei die X-Achse die Richtung der Wellenausbreitung ist.

Antworten (3)

Es gibt ein Missverständnis, was das Wort "Ebene" im Begriff "Ebenenwelle" darstellt. Eine ebene Welle ist eine Welle, bei der die Oberfläche konstanter Phase ( Wellenfront ) eine Ebene ist:

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( Bildquelle )

Was als kreisförmiges Ding gezeigt wird, das sich dreht e ich ω T ist der Zeiger , der den Wert der Wellenfunktion an einem bestimmten (einzelnen!) Raumpunkt darstellt . Phasoren werden nicht nur für quantenmechanische Wellenfunktionen verwendet: Dieses Konzept hat seinen Ursprung in der Theorie elektrischer Schaltungen und ist auch für die Behandlung anderer Arten von Wellen – sogar reellwertiger – nützlich, z. B. elektromagnetisch.

Das Besondere an quantenmechanischen Wellenfunktionen ist, dass sie normalerweise nicht beobachtbar sind, sondern nur ihr absoluter Wert. Aber der Effekt der Interferenz von Quantenteilchen, wie im Doppelspaltexperiment , macht es notwendig, einen zusätzlichen Parameter einzuführen, um diese Art von Effekten zu erfassen. Dieser Parameter ist die Phase, und es ist das Ding, das den Zeiger in den Animationen drehen lässt, die Sie in den Ressourcen zur Quantenmechanik sehen.

Beachten Sie, dass Phasor ein Vektor ist, der sich nicht im gewöhnlichen physischen Raum befindet: Es ist ein Vektor in der komplexen Ebene und zeigt im realen physischen Raum auf keine Richtung, sondern ist eher eine mathematische Abstraktion.

Lässt sich das Zweispalt-Experiment nicht mit einem Amplitudenvektor erklären, der senkrecht zur Bewegungsrichtung steht und eine feste Richtung hat? Wie sind komplexe Zahlen notwendig?
Nebenbemerkung: Soweit ich verstanden habe, werden Phasoren in Schaltkreisen nur verwendet, um die Berechnungen von Spannung und Strom mit einer Phasendifferenz zu vereinfachen. Und zu jedem Zeitpunkt t wird nur der Realteil von Phasor betrachtet. Bitte korrigiere mich wenn ich falsch liege.
@NiKS001 man könnte natürlich so ein Modell vorstellen. Aber Sie brauchen eine spezielle Methode, um die Wahrscheinlichkeitsdichte aus Ihrer Wellenfunktion zu berechnen (was nicht der Fall ist ℜ ψ , sondern eher | ψ | 2 ). Und dann stellt sich die Frage: In welche Richtung ist diese Welle polarisiert? Sie werden dies niemals für die Phase der Quantenwellenfunktion beantworten, da es sich um einen Skalar handelt, und wie auch immer Sie Ihren Apparat drehen, diese (angebliche) Polarisation ändert sich nicht. (Ich ignoriere hier den Spin, was eine völlig andere Sache ist.)
@ NiKS001 "wird nur verwendet, um die Berechnungen von Spannung und Strom mit einer Phasendifferenz zu vereinfachen" - nicht nur. Sie sind immer dann nützlich, wenn Ihre Differentialgleichung wellenartige Lösungen zulässt. Die Maxwell-Gleichungen zum Beispiel werden auch oft in komplexer Form geschrieben, obwohl in ebenen Wellenlösungen elektrische und magnetische Felder miteinander in Phase sind.
@ NiKS001 Es gibt einen grundlegenden Unterschied darin, wie die Lösungen von Differentialgleichungen im Elektromagnetismus und in der Quantenmechanik interpretiert werden. Beim Elektromagnetismus gehen wir davon aus , dass der Realteil der Lösung der Differentialgleichung der physikalischen Spannung oder dem Strom entspricht, da in diesem Zusammenhang komplexe Exponentiale Hilfsmittel sind, um die Lösung von Differentialgleichungen zu vereinfachen. In der Quantenmechanik gehen wir jedoch von der Bornschen Regel aus, die uns sagt, dass der Betrag im Quadrat , nicht der Realteil, der Wellenfunktion der physikalischen Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht.
Daher wurde der Imaginärteil zunächst nur aus Bequemlichkeitsgründen hinzugefügt (frühe Tage der Quantenmechanik vor der Bornschen Regel). Die Bornsche Regel war eine empirische Beobachtung und gibt diesem imaginären Teil irgendwie eine physikalische Bedeutung. Ist das korrekt?
@ NiKS001 Ich bin mir nicht sicher, ob dies eine genaue Geschichte der Quantenmechanik ist. Das sollten Sie bei der History of Science and Mathematics SE erfragen. Aber Sie können die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung im Allgemeinen nicht lösen ich ℏ ∂ ψ ∂ T = H ^ ψ mit einer ganz realen Wellenfunktion, denn es gibt eine ich rechts in der Differentialgleichung.
@ NiKS001 Ich weiß nicht, ob es unbedingt richtig ist zu sagen, dass die Bornsche Regel selbst eine empirische Beobachtung ist. Wir können den Wert der Wellenfunktion schließlich nicht direkt messen, also können wir die Vorstellung, dass die quadrierte Größe der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, nicht direkt beobachten. Vielmehr ist es ein Postulat , das für die Quantenmechanik eine notwendige Zutat ist, um viele empirische Beobachtungen korrekt zu beschreiben.
@ NiKS001 (Übrigens, wenn ich "vollständig echte Wellenfunktion" sage, meine ich eine Wellenfunktion, deren Ausgabewerte einzelne reelle Zahlen sind. Es gibt Möglichkeiten, komplexe Zahlen vollständig zu vermeiden, da jede komplexe Zahl als 2x2-Matrix aus reellen Zahlen dargestellt werden kann , wenn Sie also zulassen, dass Ihre Wellenfunktion matrixwertig ist, müssen Sie keine komplexen Zahlen haben.Das heißt, Sie werden die zusätzliche algebraische Struktur, die komplexe Zahlen bieten, nicht los, wenn Sie dies tun, Sie sind nur sie umzubenennen; letztendlich ist es diese zusätzliche Struktur, die benötigt wird, egal wie sie dargestellt wird.)
@probably_someone es ist lustig, wie wir die Matrizen in der imaginären Einheit verstecken, und dann, nach der Einführung von Spin ... bekommen wir die Matrizen trotzdem.
@Ruslan Nun, diese Matrizen sind eine weitere Schicht zusätzlicher Struktur über der zusätzlichen Struktur, die durch komplexe Zahlen bereitgestellt wird. Ich glaube, Sie können diese Matrizen auch verstecken, wenn Sie eine auf Quaternionen basierende Formulierung der Quantenmechanik verwenden (Quaternionen werden schließlich durch 4x4-Realmatrizen dargestellt).
Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden: Die Exponentialschreibweise ( e ich ω T ) ist nur ein bequemes Werkzeug, um sowohl die "maximale" Amplitude (die zeitabhängig sein kann) als auch die "aktuelle" Amplitude (die ebenfalls zeitabhängig sein kann) zu verfolgen. Die Wellen addieren sich unter Verwendung der "aktuellen" Amplitude und Phase, aber die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, hängt vom Quadrat der effektiven "maximalen" Amplitude der Welle ab. (Einige intuitive Begriffe, aber keine strenge Behandlung). HINWEIS: Für eine Welle A ⋅ Sünde ⁡ T zum Zeitpunkt t= π / 4 , A ist die "maximale" Amplitude und A ⋅ Sünde ⁡ ( π / 4 ) ist die "aktuelle" Amplitude.

Im Grunde verwenden wir komplexe Wellen in der Quantenmechanik, weil die Mathematik am einfachsten ist, wenn wir es so machen. Es ist technisch möglich, die Quantenmechanik nur mit reellen Funktionen zu formulieren, aber es ist komplizierter und liefert genau die gleichen Ergebnisse (siehe die erste Seite von Adlers Buch Quarternionic Quantum Field Theory als Referenz: https://projecteuclid.org/download /pdf_1/euclid.cmp/1104115172 ).

Es gibt viele Gründe, warum es einfacher ist, komplexe Zahlen zu verwenden. Zum Beispiel sind Differentialgleichungen im Allgemeinen einfacher zu lösen, wenn man komplexe Wellen anstelle von echten Wellen verwendet. Ein weiterer Grund ist, dass die Fourier-Transformation bei komplexen Wellen sauberer ist. Die Fourier-Transformation ist sehr wichtig, weil sie die „Position“ eines Teilchens mit seinem „Impuls“ in Beziehung setzt (obwohl im Allgemeinen ein einzelnes Teilchen über viele „Positionen“ und „Impulse“ verteilt sein wird). Ein weiterer Grund ist, dass die mathematischen Operationen, die Messungen von Observablen wie Energie, Position und Impuls darstellen, in einfacher Form mit komplexen Zahlen geschrieben werden können.

Danke für den Hinweis. Sieht so aus, als müsste ich mich mit realen Funktionen ein wenig mit der Quantenmechanik befassen.

Denken Sie daran, dass bei der Verwendung von rotierenden Zeigern zur Darstellung von phasenverschobenen Spannungen in einem Wechselstromkreis nur eine Komponente des Zeigers eine physikalische Bedeutung hat. Es spielt keine Rolle, was Sie wählen, solange Sie daran denken, dass Sie das tun. Wenn ich mit Phasoren in der komplexen Zahlenebene arbeite, würde ich mich wohler fühlen, wenn ich die realen Komponenten verwenden würde, um mein physikalisches System darzustellen.

Warum werden Wellenfunktionen in der Quantenmechanik als komplexe kreisförmige Wellen statt als echte ebene Wellen dargestellt?
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