Verwirrt über komplexe Darstellung der Welle

Was wäre, wenn ich Ihnen sagen würde, dass die Wellengleichung gegeben ist durch:

wo$i$und$j$die Einheitsvektoren in x- und y-Richtung darstellen?

Wenn ja, könnten Sie sich vorstellen, dass die Welle in zwei getrennten räumlichen Dimensionen schwingt.

Nun lautet die Wellengleichung tatsächlich stattdessen:

Aber was ist der Unterschied? In Vektoren müssen Sie sich halten$i$und$j$Komponenten getrennt bei Gleichungen; In ähnlicher Weise lösen Sie in komplexen Zahlen Gleichungen, bei denen Realteile und komplexe Teile gleich bleiben. Sie können sich die Wellengleichung also zweidimensional vorstellen, eine reelle Dimension und eine komplexe Dimension.

Bei Vektoren erhält man das Betragsquadrat, indem man die Quadrate der x- und der y-Komponente addiert.

$\text{Magnitude}^2 = a^2 + b^2$wenn a die x-Komponente und b die y-Komponente eines Vektors ist.

Um das physikalisch sinnvolle Ergebnis der Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik zu erhalten, multiplizieren Sie die Wellenfunktion und ihre komplexe Konjugierte:

Die Wellenfunktion selbst ist keine "echte" Sache. Dh es ist keine beobachtbare Größe. Was „echt“ ist, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der Wellenfunktion zugeordnet ist. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zwischen Punkten zu finden$x=a$und$x=b$(der Einfachheit halber auf eine Dimension beschränkt) ist gegeben durch:

wo$|\Psi|^2=\Psi^* \Psi$und$\Psi^*$ist die komplexe Konjugierte der Wellenfunktion.$|\Psi|^2$ist eine reellwertige Funktion (dh ihr Imaginärteil ist Null). Es ist nicht besonders nützlich, sich die Wellenfunktion selbst als physikalische Welle vorzustellen. Entscheidend ist die Größe der Wellenfunktion.

Der Trick besteht darin, Informationen über die Phase der Welle in dieser Art der Darstellung zu verbergen. Es gibt einen schönen Anhang aus einem Buch über Holographie: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527619139.app1/pdf - Teil A.3

Es bleibt dabei: Für allgemeine Wellenfunktion$y = A · cos (\omega t − kr + \alpha)$,$kr$und$\alpha$können in einer Phase kombiniert werden$\phi$, so dass$y = A · cos (\omega t - \phi)$. Hier ist die Funktion explizit zeit- und phasenabhängig. Sie kann so transformiert werden, dass sie explizit von einem dieser Parameter abhängt.

Durch die Formel für den Kosinus der Differenz der Argumente:

$y = A · \cos \phi · \cos ωt + A · \sin \phi · \sin ωt$

oder

$y = A_1 · \cos \phi + A_2 · \sin \phi$.

Unter Verwendung der Darstellung einer komplexen Zahl können wir die obige Gleichung umschreiben als

$y = A · \cos \phi + i · A · \sin \phi$

und nach dem Eulerschen Gesetz erhalten wir:

$y = A · e^{i · \phi}$.

Ich denke, die Frage betrifft eher die physikalische Interpretation des komplexen Ausdrucks

$\psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$

als die mathematische Bedeutung davon. Für die physikalische Bedeutung stellen wir uns die Wahrscheinlichkeitsamplitude wie einen rotierenden Pfeil vor, der sich dreht, wenn sich das Teilchen im Raum bewegt. Die Rotationsfrequenz des Pfeils wird durch die Energie (Frequenz) des Teilchens (Photon) bestimmt. Diesem Pfeil wurde aufgrund des Arguments der Name „Zeiger“ gegeben$\phi =kx-\omega t$ein Winkel ist (in der Wellenmechanik heißt er „Phase“ der Welle). Diese Phase sagt uns, um wie viel Grad sich der Pfeil gedreht hat, seit das Partikel erzeugt wurde, bis es den Punkt erreicht$x$zum Zeitpunkt$t$seiner Reise.

Diese komplexe Zahlendarstellung ist sehr praktisch, nicht nur, weil sie die Phase der Welle anzeigt, sondern auch die Richtung (wenn sich die Welle in 3-D ausbreitet). Ihre Bedeutung in QM ergibt sich jedoch aus der Notwendigkeit, Wellen zu kombinieren (zu addieren). aus verschiedenen Quellen irgendwann im Raum kommen. Dies ist keine einfache algebraische Addition, da die beteiligten Winkel das Problem geometrisch machen, und die Darstellung komplexer Zahlen macht dies sehr ordentlich. In gewisser Weise addieren die Fasoren wie die Vektoren (das Reale mit dem Realen und das Imaginäre mit dem Imaginären und fertig!)

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten folgt ebenfalls geometrischen Regeln. Stellen wir uns zum Beispiel zwei Wellen vor, die von den beiden Schlitzen im DS-Experiment kommen:

ab Schlitz 1$S_1: \psi_1(x_1,t)$und von Schlitz 2$S_2: \psi_2(x_2,t)$.

Das$x_1$und$x_2$Zeigen Sie die Entfernungen, die die beiden Phasoren (Wellen) zurückgelegt haben, bis sie einen Punkt P auf dem Bildschirm erreichen. Wenn diese beiden Wellen auf dem Bildschirm ankommen, werden sie addiert, um zuerst die Gesamtamplitude zu erhalten

$A=\psi_1(x_1,t)+\psi_2(x_2,t)$

und dann ist die Wahrscheinlichkeit das 'Quadrat des Moduls' der Gesamtamplitude als

$P=|A|^2= |\psi_1 (x_1,t)|^2+ |\psi_2 (x_2,t)|^2 + 2|\psi_1 (x_1,t)|\times|\psi_2 (x_2,t)|\cos(\theta)$

Der dritte Term in der obigen Gleichung zeigt die wirkliche Notwendigkeit für die komplexe Darstellung der Wellenfunktionen in QM sowie die Notwendigkeit, zuerst die Gesamtwahrscheinlichkeitsamplitude zu finden und dann die Wahrscheinlichkeit als Quadrat des Gesamtmoduls zu finden. Dieser Begriff ist die Wurzel aller schönen Interferenzphänomene, die wir in der quantenmechanischen Welt beobachten. Ich hoffe, das hilft ein wenig.

Kurz gesagt, „eine Welle, die in der$+x$Richtung“ hat nichts mit der tatsächlichen Bewegung eines Wellenpakets zu tun. Trotz einiger mathematischer Ähnlichkeiten ist die Wellenfunktion physikalisch nichts wie eine Schwerewelle auf der Wasseroberfläche. In Quanten-"Wellen" gibt es kein Wasser (oder Gas, anderes 3D-Kontinuum, Schnur oder irgendetwas anderes, das Werten von eine physikalische Bedeutung verleihen kann$Ψ(x,t)$).