Warum können wir die Hälfte der allgemeinen Lösung weglassen?

Question

Warum können wir die Hälfte der allgemeinen Lösung weglassen?

Bob Dylan

In diesen PDF-Notizen heißt es unten auf der ersten Seite und am Anfang der zweiten:

[...] dessen Lösung lautet:
$Ψ (θ) = C_{1} e^{ich ω θ} + C_{2} e^{- ich ω θ}$ $\Psi(\theta) = c_1 e^{i\omega\theta} + c_2 e^{-i\omega\theta}$ Da wir nur an der wirklichen Lösung interessiert sind, genügt es zu sagen: $Ψ (θ) = C_{1} e^{ich ω θ} .$ $\Psi(\theta) = c_1 e^{i\omega\theta}.$

Ich verstehe nicht, warum wir die einfach wegwerfen können $c_2 e^{-i\omega\theta}$ . Was hat die zweite fundamentale Lösung damit zu tun, dass wir uns nur für die wirkliche Lösung interessieren? Und was meint diese Person mit „nur an der wirklichen Lösung interessiert“? Schließlich $c_1 e^{i\omega\theta}$ ist nicht unbedingt echt.

Daniel Sank

Ich habe das PDF gelesen und das ist die schreckliche Standard-Pädagogik, die so viele unserer Fachgebiete (und andere) plagt. Ich hatte auch mit so etwas zu kämpfen, Bob Dylan. Mein Rat an Sie ist, die Art und Weise zu ignorieren , wie PDF das Problem löst. Behalten Sie beide Bedingungen bei und lösen Sie das Problem selbst, indem Sie nach Möglichkeit im PDF nach Prüfpunkten suchen. Es tut mir leid, dass die Leute so schreckliche Erklärungen produzieren.

Nikos M.

Etwas weiter unten auf der zweiten Seite sagt das PDF, dass es das "Konjugieren" von nimmt

Ψ

$\Psi$ , interessant seit

Ψ

$\Psi$ oben auf der 2. Seite wird als echt angenommen . Nun, der Punkt ist, dass die Koeffizienten

c_{1}

$c_1$ ,

c_{2}

$c_2$ sind im Allgemeinen komplex. Beachten Sie, dass (in QM) die Wellenfunktion

Ψ

$\Psi$ ist notwendigerweise komplex (kann nicht real sein, da dies die Schrödiger-Gleichung inkonsistent machen würde). Vielleicht meint der Autor etwas anderes.

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Warum können wir die Hälfte der allgemeinen Lösung weglassen?

Ich habe das PDF gelesen und das ist die schreckliche Standard-Pädagogik, die so viele unserer Fachgebiete (und andere) plagt. Ich hatte auch mit so etwas zu kämpfen, Bob Dylan. Mein Rat an Sie ist, die Art und Weise zu ignorieren , wie PDF das Problem löst. Behalten Sie beide Bedingungen bei und lösen Sie das Problem selbst, indem Sie nach Möglichkeit im PDF nach Prüfpunkten suchen. Es tut mir leid, dass die Leute so schreckliche Erklärungen produzieren.
Etwas weiter unten auf der zweiten Seite sagt das PDF, dass es das "Konjugieren" von nimmt $\Psi$ , interessant seit $\Psi$ oben auf der 2. Seite wird als echt angenommen . Nun, der Punkt ist, dass die Koeffizienten $c_1$ , $c_2$ sind im Allgemeinen komplex. Beachten Sie, dass (in QM) die Wellenfunktion $\Psi$ ist notwendigerweise komplex (kann nicht real sein, da dies die Schrödiger-Gleichung inkonsistent machen würde). Vielleicht meint der Autor etwas anderes.

David z · Answer 1

Gute Frage. Sie haben Recht, Sie können eine der Lösungen nicht wirklich verwerfen. Der Autor dieses PDFs verwendet eine schlecht erklärte Abkürzung, die so lautet: Wenn Sie die vollständige komplexe Lösung erweitern, erhalten Sie

\begin{aligned} Ψ (θ) & = C_{1} e^{ich ω T} + C_{2} e^{- ich ω T} \\ = (A_{1} + B_{1} ich) (\cos ω T + ich Sünde ω T) + (A_{2} + B_{2} ich) (\cos ω T - ich Sünde ω T) \\ = (A_{1} + A_{2}) \cos ω T + (B_{2} - B_{1}) Sünde ω T + ich [(A_{1} - A_{2}) Sünde ω T + (B_{1} + B_{2}) \cos ω T] \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(\theta) &= c_1 e^{i\omega t} + c_2 e^{-i\omega t} \\ &= (a_1 + b_1 i)(\cos\omega t + i\sin\omega t) + (a_2 + b_2 i)(\cos\omega t - i\sin\omega t) \\ &= (a_1 + a_2)\cos\omega t + (b_2 - b_1)\sin\omega t + i[(a_1 - a_2)\sin\omega t + (b_1 + b_2)\cos\omega t] \end{align}$

Wenn Sie aus Gründen, auf die ich hier nicht eingehen werde, wissen, dass Sie nur die reelle Lösung betrachten müssen, können Sie "ohne Verlust der Allgemeinheit" (wie sie sagen) davon ausgehen, dass der Imaginärteil Null ist:

\begin{aligned} A_{1} & = A_{2} & B_{1} & = - B_{2} \end{aligned}

$\begin{align}a_1 &= a_2 & b_1 &= -b_2\end{align}$

Dadurch können Sie die Hälfte der Koeffizienten eliminieren; mit anderen Worten, zwei von $a_1,a_2,b_1,b_2$ nicht unabhängig sind, sondern mit den beiden anderen verwandt sind.

Sie können jetzt die beiden vorherigen Gleichungen kombinieren, um zu erhalten

Ψ (θ) = 2 A_{1} \cos ω T - 2 B_{1} Sünde ω T

$\Psi(\theta) = 2a_1\cos\omega t - 2b_1\sin\omega t$

Beachten Sie, dass die Lösung jetzt nur noch zwei reelle Koeffizienten hat, $a_1$ Und $b_1$ , oder äquivalent, ein komplexer Koeffizient, $c_1$ . Der Haken ist das $c_1$ wird nicht wirklich als komplexe Zahl verwendet; Vielmehr wird es auseinander genommen und seine Komponenten werden separat verwendet, weshalb ich die Art und Weise, wie es im PDF erklärt wird, nicht für sehr nützlich halte.

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Bob Dylan

Daniel Sank

Nikos M.

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David z

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