Ist es möglich, die Schrödinger-Gleichung so zu formulieren, dass imaginäre Zahlen ausgeschlossen werden? [Duplikat]

Sie können alle Verweise auf komplexe Zahlen auf recht triviale Weise eliminieren, obwohl dies zu mathematisch weniger eleganten Ausdrücken führt. Sie könnten zum Beispiel in der Positionsbasis arbeiten und statt einer komplexwertigen Wellenfunktion, die jedem Punkt im Konfigurationsraum eine komplexe Zahl zuweist, eine Wellenfunktion mit zwei reellen Komponenten verwenden, die also ein geordnetes Paar zuweist von reellen Zahlen$\vec{\psi}(\{\vec{x}_i\})$zu jedem Punkt im Konfigurationsraum. Multiplikation mit$i$(z. B. in der Schrödinger-Gleichung und in den kanonischen Vertauschungsrelationen) durch eine Anwendung der orthogonalen Matrix ersetzt werden

$$\hat{O} := \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),$$ was den "Vektor" dreht $\vec{\psi}$um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn. So würde die Schrödinger-Gleichung werden $\hat{H} \vec{\psi} = \hbar\, \hat{O}\, d\vec{\psi}/dt$(in der Positionsbasis). Aber es wäre viel komplizierter, Dinge wie die Basis zu ändern.

Tatsächlich ist dies genau das, was alle Rechenalgorithmen "unter der Haube" tun - Computer stellen komplexe Zahlen intern als geordnete Paare reeller Zahlen dar, und alle Operationen mit komplexen Zahlen werden in Operationen mit Paaren reeller Zahlen umgewandelt.

Abschnitt 4 dieses Papiers diskutiert einige Gründe dafür, warum wir erwarten könnten, dass eine Theorie wie die Quantenmechanik am natürlichsten durch komplexe Zahlen ausgedrückt werden könnte (was sich sehr von der Behauptung unterscheidet, dass sie nur durch komplexe Zahlen ausgedrückt werden kann). Grundsätzlich wäre es schön, wenn der von uns verwendete Zahlenkörper algebraisch abgeschlossen wäre. Die Quadratwurzel einer komplexen Zahl ist immer komplex, aber die Quadratwurzel einer reellen Zahl ist nicht immer reell. Allerdings die Gruppe$GL(2, \mathbb{R})$von$2 \times 2$echte invertierbare Matrizen sind algebraisch geschlossen, also ist das in diesem Sinne genauso gut wie die komplexen Zahlen. (Anmerkung für Experten und Erbsenzähler: Ich beschönige hier einige Feinheiten, wie die Tatsache, dass$GL(2, \mathbb{R})$ist nicht unter Addition abgeschlossen und ist daher kein Feld, also sollten Sie streng genommen eher von Abschluss unter Potenzierung als von algebraischem Abschluss sprechen.)

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die geometrische Algebra auf die Vorstellung komplexer Zahlen i für die Schrödinger-Gleichung verzichtet: https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra

Hestenes "Geometrische Algebra" verwendet eine reellwertige Clifford-Algebra

Sie sehen immer noch i, I in Gleichungen der geometrischen Algebra, aber sie sind fast immer Pseudoskalare

Die Pseudoskalare sind das höchstgradige Element der geometrischen Algebra einer bestimmten Dimension, nicht das Imaginäre komplexer Zahlen, wie ich glaube, dass viele annehmen, ohne den GA-Formalismus zu kennen

Die Pseudoskalare haben negative Quadrate für euklidische 2D- und 3D- und 4D-Minkowski-Räume, die Isomorphismen mit komplexen Zahlen in 2D und Quaternionen in 3D ergeben

Pseudoskalares geometrisches/Clifford-Produkt mit minderwertigeren Elementen ergibt das Dual