Was bedeutet die Schrödinger-Gleichung wirklich?

Dies ist ein ziemlich grundlegender Ansatz, der für Studenten geeignet ist, die mindestens ein Semester Einführung in die Newtonsche Mechanik abgeschlossen haben, mit Wellen vertraut sind (einschließlich der komplexen Exponentialdarstellung) und auf einem Niveau von Hamiltonian gehört haben$H = T + V$. Soweit ich weiß, hat es keinen Bezug zu Schrödingers historischem Ansatz.

Nehmen wir die Herausforderung von Debye an, die Wellengleichung zu finden, die zu de Broglie-Wellen gehört (wobei wir uns lediglich der Klarheit halber auf eine Dimension beschränken).

Da wir nach einer Wellengleichung suchen, nehmen wir an, dass die Lösungen die Form haben

Nun ist es eine interessante Beobachtung, dass wir die Winkelfrequenz erhalten können$\omega$aus (1) mit Zeitableitung und ebenfalls Wellenzahl$k$mit einer räumlichen Ableitung. Definieren wir einfach die Operatoren ¹

Nun, der Hamiltonoperator für ein Massenteilchen$m$sich in einem festen Potentialfeld bewegen$V(x)$ist$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$, und da diese Situation keine explizite Zeitabhängigkeit hat, können wir den Hamiltonoperator mit der Gesamtenergie des Systems identifizieren$H = E$. Wenn wir diese Identität in Bezug auf die obigen Operatoren erweitern (und sie auf die Wellenfunktion anwenden, weil Operatoren auf etwas einwirken müssen), erhalten wir

Die Motivation hier ist also

1. Schreiben Sie eine Wellengleichung.
2. Machen Sie die Energie und den Impuls haben die de Broglie-Formen, und
3. Energieeinsparung verlangen

aber das ist kein Beweis, weil der Übergang von Variablen zu Operatoren aus dem Hut gezogen wird.

Als zusätzlichen Bonus, wenn Sie das Quadrat des relativistischen Hamilton-Operators für ein freies Teilchen verwenden$(pc)^2 - (mc^2)^2 = E^2$diese Methode führt natürlich auch zur Klein-Gordon-Gleichung.

¹ In sehr grober Sprache ist ein Operator ein funktionsähnliches mathematisches Objekt, das eine Funktion als Argument nimmt und eine andere Funktion zurückgibt. Partielle Ableitungen qualifizieren sich offensichtlich an dieser Front, aber auch einfache multiplikative Faktoren: weil die Multiplikation einer Funktion mit einem Faktor eine andere Funktion zurückgibt.

Wir folgen einer gängigen Notationskonvention, indem wir Objekte, die als Operatoren zu verstehen sind, mit einem Hut bezeichnen, aber den Hut von expliziten Formen weglassen.

Ich mag die Antwort von @ Simon , aber meine persönliche Lieblingsmethode zum "Ableiten" der Schrödinger-Gleichung ist diese.

Stellen Sie sich den Quantenzustand als Codierung einiger Informationen über Ihr System vor. Das heißt, eine Quantenversion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einem Vektorraum (Hilbert-Raum) definiert ist.

Was wollen wir von einer sinnvollen Wahrscheinlichkeitsverteilung? Erstens muss es immer so normalisiert werden, dass sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse zu Wahrscheinlichkeit 1 addieren. Zweitens wollen wir, dass alle Wahrscheinlichkeiten, die diesen Ergebnissen entsprechen, immer positiv oder mindestens 0 sind. Die allgemeinste Form eines Zeitentwicklungsoperators - das ist zu Sagen Sie einen Operator, der zu diesem Zeitpunkt auf Ihren Zustand einwirkt$t_0$nimmt es an$t_1$ist eine sogenannte vollständig positive spurerhaltende Karte - http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation

Dies bedeutet im Wesentlichen, dass die Karte alle von mir genannten Anforderungen erfüllt (es gibt einige Feinheiten, aber die Erklärung dauert länger).

Nun können wir fragen, welche Art von dynamischer Gleichung dieser Abbildung entspricht? Wir wollen, dass die Gleichung Markovsch ist, also lokal in der Zeit, damit das System nicht davon abhängt, was vor langer Zeit passiert ist, weil dies die Lokalität in gewissem Sinne verletzen würde.

Lindblad hat gezeigt, dass die allgemeinste Form einer solchen Gleichung ist:

wo$\rho$ist der Staat,$H$ist der Hamiltonoperator,$h_{m,n}$sind einige Preise und die$L_m$sind sogenannte Lindblad-Operatoren, die beliebige Operatoren sein können.

Wie jedoch Banks, Susskind und Peskin gezeigt haben - http://adsabs.harvard.edu/abs/1984NuPhB.244..125B

Diese Art von Gleichung verstößt gegen die Energieerhaltung oder die Lokalität, es sei denn, alle$h_{m,n}$sind null. Wenn es gegen die Energieerhaltung verstößt, kann es kein geschlossenes System beschreiben, das gegenüber Zeitverschiebungen invariant ist. Daher setzen wir sie auf 0 und erhalten nur,

das ist die von Neumann-Gleichung, die sich für reine Zustände auf die Schrödinger-Gleichung reduziert,$\rho=|\psi \rangle \langle \psi|$

Es steht für Dynamik für seltsame Quantenteilchen, die sich als Welle ausdrücken lassen$\psi$. Da die Quantentheorie grundsätzlich probabilistisch ist, müssen wir den klassischen Hamiltonoperator in Erwartungswerten niederschreiben:

In der Quantenmechanik verwenden wir verschiedene Operatoren, die auf Zustände wirken$\psi$

[ ANMERKUNG : Wenn Sie sich trauen, können Sie frühere Ausdrücke tatsächlich mit Fourier-Methoden und geringeren Annahmen ableiten, aber im Allgemeinen nehmen wir sie als selbstverständlich hin, da die Schrödinger-Gleichung ein grundlegendes Postulat in der Physik ist]

Nach Anwendung des Variationslemmas erhält man:

Um die Schrödinger-Gleichung zu verstehen, müssen Sie wissen, was der Zustandsvektor ist http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state . Bevor wir das System messen, könnte sein Zustand beliebige Linearkombinationen von Eigenvektoren sein. Die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Wertes ist quadratisch mit dem Koeffizienten (auch Wellenfunktion genannt) des entsprechenden Eigenvektors.

Wenn sich der Zustand mit der Zeit ändert, könnten wir einen Operator U auf den Zustandsvektor anwenden, genauso wie wir den Drehimpulsoperator durch Rotation des Zustandsvektors erhalten. Gemäß der Informationserhaltung können sich die Eigenvektoren nicht vermischen, sodass das innere Produkt erhalten bleibt und U ein Einheitsvektor ist. Angenommen U = I - iεH, I ist Identitätsoperator, ε ist eine kleine Zahl, dann können Sie die Schordinger-Gleichung durch Taylorentwicklung ableiten.

Mit einem Wort, die Schordinger-Gleichung wird verwendet, um zu beschreiben, wie sich der Zustand des Systems mit der Zeit ändert, und der Hamilton-Operator ist für die Änderung verantwortlich.

Tut mir leid für die unklaren Worte, ich sollte die Gleichung für dich herleiten, aber , schade! Ich weiß nicht, wie man LaTex oder MathJax benutzt. Aber ich arbeite daran.

Die Schrödinger-Gleichung liefert den definitiven Energieraum, den ein Elektron innerhalb einer Hülle im Atom einnehmen kann. Die Wellenfunktion, eine ihrer Variablen, gibt tatsächlich den wahrscheinlichen Ort eines Elektrons im Raum an.