Warum komplexe Funktionen zur Erklärung des Wellen-Teilchen-Dualismus?

Schließlich ist es unser Ziel, physikalische Phänomene zu erklären ... was wäre, wenn wir uns in diesen Dschungel realer Funktionen wagen und eine völlig andere Theorie entwickeln würden, die physikalische Phänomene erklärt.

Viel Glück. Zunächst einmal irren Sie sich, dass die klassische Physik keine imaginären Funktionen verwendet hat. Die als imaginäre Funktionen ausgedrückten Lösungen der Maxwell-Gleichungen sind allgemeiner und universeller als Sinus und Cosinus.

Der einfachste Lösungssatz der Wellengleichung ergibt sich aus der Annahme sinusförmiger Wellenformen einer einzelnen Frequenz in trennbarer Form

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathrm{Re}\{\mathbf{E}(\mathbf{r} e^{i\omega t}\}$$

Imaginäre Funktionen sind ein nützliches Werkzeug bei der Integration und Beschreibung realer Daten.

((Wenn Sie mich bitten, in theoretischer Physik zu forschen, schmeiße ich alle QM-Bücher in den Müll (allerdings keine Missachtung) und fange an, von diesem Standpunkt aus zu denken ... Das ist mein Arbeitsstil!)

Bei solchen blinden Flecken wird Sie sicherlich niemand bitten, in theoretischer Physik zu forschen.

Der Unterschied zwischen der klassischen Verwendung imaginärer Funktionen aus den Lösungen der Wellengleichungen und der quantenmechanischen besteht darin, dass postuliert wird, dass das Quadrat der Wellenfunktion reell ist und die Wahrscheinlichkeit einer zu beobachtenden Elementarteilchen- (oder Kern-)Wechselwirkung angibt . Wenn im Mikrokosmos die Quantenmechanik regiert. Dort kann man kein Lineal nehmen, es markieren und messen, es wurde festgestellt, dass die Theorien und Daten übereinstimmten, als das Wahrscheinlichkeitspostulat auferlegt wurde. Man muss viele Messungen machen und die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen besonders gewünschten Wert erhalten.

Der obige Link diskutiert die Postulate der Quantenmechanik, die nicht aus einer verrückten Vorstellungskraft auferlegt wurden, sondern notwendig waren, um bekannte Beobachtungen wie das Wasserstoffatom berechnen und anpassen und das Ergebnis von Experimenten und Beobachtungen vorhersagen zu können.

BEARBEITEN, um den letzten Teil der Frage zu beantworten:

((Wenn Sie mich bitten, in theoretischer Physik zu forschen, schmeiße ich alle QM-Bücher in den Müll (allerdings keine Missachtung) und fange an, von diesem Standpunkt aus zu denken ... Das ist mein Arbeitsstil!)

Das funktioniert für die Kunst, Kunst ist viel weniger abhängig von Beobachtungsdatenbanken und den Werkzeugen, die verwendet werden können.

Die Tatsache, dass Menschen seit zweitausend Jahren Modelle physikalischer Beobachtungen und insbesondere die letzten 300 Jahre auch eine Datenbank mit mathematischen Werkzeugen erstellen, schränkt die Kreativität in der Wissenschaft ein. Die mathematischen Werkzeuge wurden verwendet, um alle bisherigen Beobachtungen zu modellieren. Diese Modelle sind in gewisser Weise eine Kurzbeschreibung der Natur, die auf vielfältige Weise verwendet werden könnte, anstatt auf die Daten selbst zurückzugehen. Es gibt eine Grenze der experimentellen Forschung, wo die Modelle nicht validiert wurden, und hier kann neues Denken ins Spiel kommen.

Meine erwartete Antwort ist in diesem Sinne: "Hey, wenn Sie in diese Richtung gehen, werden Sie aus dem und dem Grund zwangsläufig in einem schnellen Sand enden."

Wenn Sie in die Richtung gehen, alles wegzuwerfen, werden Sie mit vagen Modellen wie dem Demokrit-Atommodell oder der Phlogiston-Theorie, in Ihren eigenen Worten, enden. Die jetzt verwendeten mathematischen Modelle sind validiert, einige davon mit großer Genauigkeit. Neue mathematische Werkzeuge zur Modellierung der bereits modellierten Daten wären nur dann der Aufmerksamkeit wert, wenn etwas Neues und Unerwartetes vorhergesagt und in den Experimenten gefunden wird.

Es gibt Leute, die abseits der ausgetretenen Pfade Theorien erarbeiten und versuchen, die Quantenmechanik durch zugrunde liegende deterministische Theorien zu erklären. Diese Personen verfügen über umfassende Kenntnisse der vorhandenen mathematischen Werkzeuge und der validierten physikalischen Modelle. Sie wollen nur an der Grenze arbeiten, indem sie ignorieren, dass die Mainstream-Physik ihre Bemühungen als widersprüchlich oder unmöglich/verboten durch die Postulate der Quantenmechanik und der speziellen Relativitätstheorie betrachtet. Ein Beispiel sind die aktuellen Forschungsinteressen von G.'t Hooft, der hier vor einiger Zeit ebenfalls mitgewirkt hat.

Wenn Sie also in diese Richtung gehen, werden Sie sicherlich im Sand enden, wenn Sie keine gründlichen Kenntnisse der Daten und mathematischen Werkzeuge haben, die die Physik bisher verwendet hat. Wenn Sie sich die Mühe machen, sie zu erwerben, steht es Ihnen natürlich frei, der Mainstream-Physik das "Unrecht" zu beweisen, solange Ihre neue Theorie die Datenkurzschrift der bisherigen Modelle aufnehmen kann. Alle neuen Theorien, wie sie in der Physik auftauchten, schlossen sich nahtlos als Grenzfälle an die alten an.

Ich glaube, die Schlüsselwörter hier sind Zeitverschiebungsinvarianz, Fluss , Zustand, Linearität (oder Homogenität), Kontinuität und Einheitlichkeit, und die Antwort auf Ihre Frage ist ziemlich unabhängig davon, ob wir Quantenmechanik betreiben oder nicht.

Angenommen, wir tappen im Dunkeln und versuchen, ein neues Phänomen so zu beschreiben, wie es die frühen (eigentlich 1920er) Physiker taten. In der Tradition von Laplace hoffen Sie, dass eine deterministische Systembeschreibung funktioniert (und der Teil der QM, der komplexe Zahlen verwendet, nämlich die Einheitszustandsentwicklung, ist insgesamt und vollständig deterministisch). Wir werden also mit einem Zustand beginnen : einige Informationen – eine Reihe von Zahlen$\psi$- vorerst echte, wenn Sie möchten -, die die Zukunft (und Vergangenheit) des Systems vollständig bestimmen, wenn das System vom Rest des Universums getrennt wird .

Wir haben also welche$\psi\in\mathbb{R}^N = X$das ist unsere grundlegende Beschreibung .

Nun entwickelt sich ein isoliertes System von selbst: Im Laufe der Zeit verändert sich das System in gewisser Weise. Lassen$\varphi: X\times\mathbb{R}\to X$sei unsere Zeitentwicklungsoperation: z$x\in X$ $\varphi(x,t)\in X$entwickelt sich der Zustand nach einer Zeit$t$. Darüber hinaus kann die Beschreibung nicht davon abhängen, wann wir sie geschehen lassen: Sie muss eine grundlegende Zeitverschiebungsinvarianz haben. Die Ergebnisse des Experiments können nicht davon abhängen, ob ich es jetzt mache oder ob ich warte, bis ich meine Tasse Tee getrunken habe. Also die Beschreibung der Veränderung in einem gewissen Zeitintervall$\Delta t$muss derselbe sein wie der für die Änderung in jedem anderen$\Delta t$. Wenn wir nicht mit dem System interagieren, gibt es keine privilegierten Zeitintervalle. Daher müssen wir haben:

$$\varphi(x,t+s) = \varphi(x,s+t) = \varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(\varphi(x,s),t),\;\forall s,t\in\mathbb{R}$$

Und

$$\varphi(x,N \Delta t) = \underbrace{\varphi(\varphi(\cdots \varphi(\varphi(}_{N\ \text{iterations}}x,\overbrace{\Delta t),\Delta t)\cdots,\Delta t)}^{N\ \text{iterations}}$$

Aus unserem kopernikanischen Begriff der Zeitverschiebungsinvarianz haben wir also unsere erste nächste große Idee: die eines Flusses, der durch den Zustandsübergangsoperator definiert ist$\varphi$. Unsere Zustandsübergangsoperatoren bilden also eine kontinuierliche Gruppe mit einem Parameter. Hier haben wir unseren Grundgedanken der Kontinuität zum Tragen gebracht.

Dies scheint zu sagen (da wir jetzt eine Lie-Gruppe mit einem Parameter haben ), dass die einzigen Systeme, die diese Ideen erfüllen, lineare sind, aber das ist nicht ganz so: Die Lie-Gruppe wirkt nur weiter$X$Es besteht also immer die Möglichkeit, einige lokale,$X$-abhängiges nichtlineares "Strecken" oder "Schrumpfen" des Pfades. Also nehmen wir jetzt eine Systemlinearität oder einen anderen Begriff einer homogenen Aktion an (so dass intuitiv$\varphi(-,t):X\to X$bewahrt einige lokale "Strukturen" unseres Zustandsraums$X$). Dann fließt der nur kontinuierliche, lineare, homogene Zustandsübergangsoperator weiter$X$Ist:

$$\varphi(x, t) = \exp(H\,t) x \stackrel{def}{=} \left({\rm id} + H\,t + H^2\,\frac{t^2}{2!} + H^3\,\frac{t^3}{2!} + \cdots \right) x$$

für einen linearen Operator$H:X\to X$.

Um nun das Verhalten dieses Grundmodells zu untersuchen, müssen wir über die Eigenwerte von nachdenken$H$, so dass wir beispielsweise den Operator "spektral faktorisieren" ("diagonalisieren" - oder zumindest so nah wie möglich an eine Diagonalisierung herankommen können - aber dies ist in QM immer möglich). Die natürliche Heimat für die Eigenwerte eines Operators sind$\mathbb{C}$, nicht$\mathbb{R}$, weil ersteres ein algebraisch abgeschlossener Körper ist und letzteres nicht. Es gibt endlichdimensionale lineare Operatoren, deren charakteristische Gleichungen Lösungen enthalten$\mathbb{C}-\mathbb{R}$. Darüber hinaus müssen wir das Verhalten von berücksichtigen$e^{\lambda\,t}$Wo$\lambda$sind die Eigenwerte von$H$(Dies ist in einem endlichdimensionalen Raum einfach - für einen unendlichdimensionalen siehe meine Antwort hier auf die Frage "Sind alle Streuzustände nicht normalisierbar?" ) - wie passen diese zu unserer Physik?

Wenn für irgendeinen Eigenwert$\lambda$reell und positiv ist, oder wenn komplex und sein reeller Teil reell und positiv ist, divergiert unser Zustandsvektor zu unendlicher Länge als$t\to\infty$. Wenn sie alle komplex mit negativem Realteil sind, dann schrumpft unser Zustandsvektor schnell auf den Nullvektor. Noch bevor wir die Idee der Wahrscheinlichkeitsamplitude richtig kristallisiert haben, haben wir vielleicht die Idee, dass wir „so viel Zustand so lange wie möglich erhalten wollen“. kollabieren in den gleichen Zustand$0\in X$. Alle Eigenwerte sind also vollständig imaginär$e^{\lambda\,t}$hat eine begrenzte Größe, die nicht ins Unendliche oder auf Null stürzt, könnte eine faire Wette sein. Um dies schärfer zu fokussieren: Haben$\exp(H\,t)$Erhaltungslänge könnte eine weitere vernünftige Annahme sein. Die einfachste "Länge" im Zustandsraum ist natürlich die$\mathbf{L}^2$eins. Also könnten wir jetzt postulieren, noch bevor unsere Vorstellungen über die Wahrscheinlichkeitsamplitude in QM vollständig herauskristallisiert sind, dass:

Der Betreiber$\exp(H\,t)$ist einheitlich

Dies bedeutet äquivalent Folgendes:

$H$ist schief-hermitesch

oder unser Betreiber ist$\exp(i\,\hat{H}\,t)$Wo:

$\hat{H}$ist hermitesch

Hermitesche Operatoren sind unter sehr milden Annahmen immer diagonalisierbar und haben immer reelle Eigenwerte. Also Entitäten wie$\exp(i\,\omega\,t)$Wo$\omega \in \mathbb{R}$sind bei unseren Zustandsübergangsoperatorerweiterungen unvermeidlich .

Jetzt hast du recht und wir könnten alles echt halten, verwenden$\cos$Und$\sin$stattdessen und halten Sie unseren Zustandsraum als$\mathbb{R}^{2 N}$wo wir hätten$\mathbb{C}^N$in der konventionellen Beschreibung. Ob wir uns dafür entscheiden, ein Objekt herauszugreifen wie:

$$\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\in U(1), SU(2), SO(3), U(N) \cdots$$

und gib ihm ein besonderes Symbol$i$Wo$i^2=-1$ist "Geschmackssache", daher ist die Verwendung komplexer Zahlen in diesem Sinne nicht unbedingt erforderlich. Nichtsdestotrotz würden wir dieses Ziel notwendigerweise noch erreichen, indem wir unseren Zustandsübergangsoperator und zerlegen$H$,$\hat{H}$Operatoren und solche, die es mögen und bei der Beschreibung der Physik mit Aussagen umgehen müssten, die solche Objekte betreffen - daran führt kein Weg vorbei. Insbesondere wenn wir ein begrenztes, aber immerwährendes Wellenverhalten haben, müssen wir in unserem Zustandspaar auf Zustandspaare stoßen$\mathbb{R}^{2 N}$Darstellung des Konventionellen$\mathbb{C}^N$die sich mit der Zeit durch lineare Differentialoperatoren mit Teilmatrizen wie der entwickeln$i$Objekt oben.

Sie sehen also tatsächlich, dass komplexe Zahlen sehr natürlich aus den sehr klassischen und tatsächlich Renaissance-Ideen von Leuten wie Laplace, Copernicus, Leibnitz, Galileo und Newton entstehen. Wir haben einfach eine bessere und verfeinerte mathematische Sprache, um reibungslos über diese Ideen zu sprechen, bei denen diese Typen im Dunkeln tappten.

Und jetzt, wenn wir die Linearität beibehalten, aber die Zeitverschiebungsinvarianz fallen lassen (sagen wir, wir haben eine gewisse "Kontrolle" über unseren linearen Operator$H(t)$: Wir könnten ein Elektron in einem klassischen Magnetfeld haben, das wir zum Beispiel variieren können, um den Zustand des Elektrons zu "steuern"), erhalten wir immer noch die meisten der oben genannten Ideen. Jetzt lösen wir:

$${\rm d}_t U(t) = H(t) U(t)$$

was wir uns so vorstellen können, als hätten wir einige Zifferblätter, an denen wir drehen müssen, um unser Lie-Algebra-Mitglied zu steuern$H$im Tangentialraum bei$U$an die Lie-Gruppe von Zustandsübergangsoperatoren.$H$muss immer noch schief-hermitesch sein und$U\in U(N)$(wenn unser System endlichdimensional ist). Siehe meine Antworten hier auf die Physics SE-Frage "Warum kann die Schrödinger-Gleichung mit einem zeitabhängigen Hamilton-Operator verwendet werden?" sowie, als praktisches Beispiel, hier zur Physics SE-Frage "Fixed Input Qubit State to a arbirary pure state using two variable rotations and one fixed rotation"

Welle-Teilchen-Dualität ist die "Vorgeschichte" der Quantenmechanik. Betrachtet man die Quantenmechanik, so ist es weitaus interessanter, sich die Heinsenberg-Darstellung anzusehen, wo Ort und Impuls zeitabhängige Operatoren sind, während die Zustände$|\psi\rangle$nicht.

Quantenbeschränkungen werden durch Kommutierungsbeziehungen ausgedrückt:

$[X(t), P(t')]_{|t=t'} = Constant ~~\mathbb I_d$

Hier ist "Konstante" ein realer oder imaginärer Wert, von dem nichts abhängt$t$(bei$t=t'$), Und$\mathbb I_d$ist der Identitätsoperator (der mit allen Operatoren kommutiert)

Nun stellt sich die Frage: Müssen wir diese Konstante als reinen realen Wert oder als reinen imaginären Wert wählen?

Weil$X(t)$Und$P(t')$sind hermitesche Operatoren, ihr Kommutator ist anti-hermitesch, also ist die einzige mathematische Möglichkeit, dass die Konstante rein imaginär ist:

$[X(t), P(t')]_{|t=t'} = i \hbar ~~\mathbb I_d \tag{1}$

Nun können wir zur Schrödinger-Darstellung und zur Wellenfunktion zurückkehren$\psi(x,t) = \langle x|\psi(t)\rangle$

Mit$\psi(x,t)$, müssen wir eine Darstellung für die Operatoren finden$X$Und$P$, die gelten für$\psi(x,t)$, also hängen diese Operatoren jetzt nicht mehr von der Zeit ab, aber ihre Definition muss mit ihren Kommutierungsbeziehungen kompatibel sein, die in gefunden werden$(1)$, also ist die einfachste Lösung:

$P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$

Stellen Sie sich nun eine Wellenfunktion vor, die einem konstanten Impuls entspricht$p$und Energie$E$, dann muss es unbedingt die Form haben:

$\psi(x,t) \sim e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} = e^{i(k x-\omega t)}$

Wir haben$P\psi(x,t) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t)= p\psi(x,t)$

[Der Energieoperator$E$definiert werden als$E = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$]

Sie sehen also, dass Sie der imaginären Darstellung nicht „entkommen“ können, es erscheint im Kontext der Quantenmechanik völlig natürlich.

Komplexe Zahlen sind genauso reell wie reelle Zahlen. Sie als imaginär zu bezeichnen, ist nur eine Benennungssache, aber sie sind da. sinIn einigen Anwendungen sind sie eine großartige Abkürzung und eine Möglichkeit, Tonnen von goniometrischen Funktionen und ähnlichen "komplexen" Berechnungen zu vermeiden (ein großartiges Beispiel ist die Anwendung der Rotation - anstatt immer und immer wieder zu rechnen, multiplizieren Sie einfach mit einer komplexen Zahl cos; sehr praktisch in der Computergrafik). Könnten Sie ohne negative Zahlen auskommen? Oder eine Null? Klar könntest du das, es würde alles nur komplizierter machen. Es ist nur eine Möglichkeit, Zeit und Platz zu sparen und alles einfacher auszudrücken und zu verstehen.

Wenn Sie komplexe Zahlen als etwas Besonderes, „nicht Reales“ behandeln, machen Sie den gleichen Fehler, den alte Menschen und Mathematiker gemacht haben, als sie auf ähnliche Weise negative Zahlen oder Null oder irrationale Zahlen ablehnten. Es ist da. Es macht den Job. Warum verwenden wir Matrizen, um eine Sammlung linearer Gleichungen auszudrücken? Wir müssen nicht, es ist einfach bequem. Kann man Newtonsche Physik ohne Vektoren ausdrücken? Natürlich können Sie das, aber jetzt haben Sie die Anzahl der Gleichungen ohne Grund verdreifacht. Wenn Sie ein besseres Werkzeug oder eine bessere Repräsentation für einen Job haben, verwenden Sie es. Nur so können Sie mit der zunehmenden Komplexität Ihrer Aufgaben Schritt halten. Und es spielt keine Rolle, ob Sie über Mathematik, Physik oder Programmierung sprechen – wer ständig veraltete Tools verwendet, wird auch veraltet.

Alles in allem könnte man QM sicher auch ohne komplexe Zahlen ausdrücken. Aber das würde die zugrunde liegenden Prinzipien nicht ändern, Sie hätten nur einen anderen (und tatsächlich komplizierteren) Ausdruck derselben Sache.