Ein Missverständnis in Bezug auf den unendlichen quadratischen Brunnen

Question

Ein Missverständnis in Bezug auf den unendlichen quadratischen Brunnen

Selfmademan

Hier ist ein Bild der Energiezustände des unendlichen Potentials gut .

Energieniveaus

Wir können sehen, dass die erste Ebene eine halbe Wellenlänge hat, die zu einer vollen Welle der zweiten Ebene passt. Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

\frac{λ_{1}}{2} = λ_{2}

$\frac{ \lambda _{1} }{2} = \lambda _{2}$

\Rightarrow λ_{1} = 2 λ_{2}

$\Rightarrow \lambda _{1} =2 \lambda _{2}$

\Rightarrow \frac{1}{E_{1}} = \frac{2}{E_{2}}

$\Rightarrow \frac{1}{E_{1} } = \frac{2}{E_{2} }$

\Rightarrow E_{2} = 2 E_{1}

$\Rightarrow E_{2} = 2E_{1}$

Wir haben die Formel verwendet:

E = H v

$E=h \nu$

\Rightarrow E = \frac{H C}{λ}

$\Rightarrow E= \frac{hc}{ \lambda }$

Wir haben mit unserer Vorstellung von klassischen Wellen begonnen, wir haben die Plancksche Beziehung verwendet $E=h \nu$ und wir haben abgeschlossen $E_{2} = 2E_{1}$ . Was wir früher falsch gewusst haben.

Wir wissen das

E_{N} = N^{2} E_{1}

$E_{n}= n^{2} E_{1}$

Jetzt fangen wir hier an:

E_{2} = 4 E_{1}

$E_{2}= 4 E_{1}$

\Rightarrow \frac{1}{E_{1}} = \frac{4}{E_{2}}

$\Rightarrow \frac{1}{ E_{1} } = \frac{4}{ E_{2} }$

\Rightarrow λ_{1} = 4 λ_{2}

$\Rightarrow \lambda _{1} = 4 \lambda _{2}$

\Rightarrow \frac{λ_{1}}{2} = 2 λ_{2}

$\Rightarrow \frac{ \lambda _{1} }{2} =2 \lambda_{2}$

Die letzte Zeile können wir mit einem Bild darstellen

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hier passen zwei Wellen in eine halbe Wellenlänge der ersten Ebene.

Meine Frage ist nun, warum sich unser Konzept der klassischen Wellen nicht mit den Wellenfunktionen des Energieniveaus verträgt? Gibt es noch einen anderen Unterschied zwischen klassischer und Quantenwelle? Was ist falsch an meiner Analyse?

Antworten (3)

Ein Missverständnis in Bezug auf den unendlichen quadratischen Brunnen

ACuriousMind · Answer 1

ACuriousMind

Die Quantenwellenfunktion ist keine Welle im klassischen Sinne. Insbesondere ist es kein Wellengehorsam $E = \hbar \omega$ , wie es elektromagnetische Wellen tun.

Der Begriff Wellenfunktion ist in diesem Sinne nur eine schlechte Namensentscheidung. Es ist keine Welle, es schwingt nichts , und es hat keinerlei Verbindung außer der mathematischen Form zu physikalischen Wellen .

tom

Einverstanden - Korrigieren Sie +1, aber wir können Interferenzen und andere "Wellen" -Effekte für Partikel beobachten.

BMS

Ich mag den ersten Absatz. Mit dem Zweiten bin ich nicht einverstanden.

Sofia

@ACuriousMind: Wer hat dir gesagt, dass die Wellenfunktion keine Welle ist? JA, es ist eine Welle (insbesondere hat sie einen absoluten Wert und eine Phase), nur wissen wir nicht, welcher Natur. Ich erinnere Sie daran, dass es wie die klassischen Wellen Einzelteilcheninterferenzen erzeugt. Aber es erzeugt auch 2-Teilchen-Interferenz, die wir nur in der Quantenmechanik erhalten haben. Was die Natur der Wellenfunktion ist, ist die große unbeantwortete Frage der Quantenmechanik.

ACuriousMind

@Sofia: Die Wellenfunktion sind einfach die Koeffizienten eines beliebigen Zustands

| ψ ⟩

$\lvert \psi \rangle$ wenn es in der Positionsbasis des Hilbert-Zustandsraums erweitert wird, falls eine solche Basis existiert. Nichts mehr. Nicht weniger. Die Interferenzeffekte sind rein aus dem Verhalten der inneren Produkte auf dem Hilbert-Raum ersichtlich. Die gesamte "Wellenmechanik" ist vollständig äquivalent zur "Matrixmechanik" (einheitliche Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Bildern), wo der Begriff der Wellen niemals eintritt.

anna v · Answer 2

Wellengleichungen haben eine lange Geschichte in der Physik, sie sind normalerweise Gleichungen mit zweiten Ableitungen, die Lösungen sind sinusförmig (Sinus und Cosinus) und wurden verwendet, um klassische Wellen, ausgehend von Wasser, Schall, Druckwellen und schließlich klassisch, mit Licht zu modellieren Maxwellsche Gleichungen.

Als die Schrödinger-Gleichung die Bohrschen Modelllösungen für die Atome reproduzieren konnte, war sie eine Wellengleichung, sie hat sinusförmige Lösungen.

Was ist der Unterschied?

Der Unterschied besteht in den Postulaten, die verwendet werden, um die mathematischen Modelle an die betrachteten physikalischen Daten anzupassen/zu projizieren und um neue Verhaltensweisen für den Untersuchungsgegenstand vorherzusagen.

Die Postulate für klassische Wellen sind, dass die Amplituden der Lösungen in Raum und Zeit der von der Welle getragenen Energie entsprechen. Das wurde untersucht und die Mathematik wurde entwickelt.

Für die Quantenmechanik ist ein Hauptpostulat, dass das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit darstellt, das betrachtete Teilchen an diesem bestimmten (x,y,z,t) zu finden. Die sinusförmigen Schwankungen variieren also die Wahrscheinlichkeit, nicht die Masse oder Energie in Raum und Zeit.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben die gleiche Bedeutung und werden klassisch und quantenmechanisch auf die gleiche Weise akkumuliert. Man muss viele Instanzen sammeln, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung experimentell zu erhalten. Beim Würfeln ist sie flach (1,2,3,4,5,6) , beim Elektron auf seiner Bahn um den Kern eine Sinusfunktion. Dies wurde bei quantenmechanischen Interferenzphänomenen wie im Zweispaltexperiment beobachtet .

Nun ist der Fall des Photons/Lichts etwas speziell, da die Maxwell-Gleichung sowohl klassisch als auch quantenmechanisch verwendet wird (indem sie in eine Operatorform umgewandelt wird) und somit die Kontinuität zwischen klassischen und quantenmechanischen Formulierungen an ihrer Schnittstelle beibehalten wird. Das Photon im Doppelspaltexperiment zeigt die Interferenz jeweils für ein einzelnes Photon an, wobei der Wahrscheinlichkeitsaspekt angezeigt wird, und die elektromagnetische Welle hat die Frequenz, die dieselbe Interferenz zeigt.

QMechaniker · Answer 3

Kommentar zur Frage (v2): Die Frageformulierung verschmilzt einerseits ein nicht-relativistisches Teilchen in einem unendlichen Potentialtopf , der eine quadratische Dispersionsrelation hat $E \propto p^2$ ; und andererseits eine masselose relativistische Dispersionsrelation $E \propto p$ .

Siehe diese Phys.SE-Frage und die darin enthaltenen Links für ein ähnliches Missverständnis.

Ein Missverständnis in Bezug auf den unendlichen quadratischen Brunnen

Selfmademan

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ACuriousMind

tom

BMS

Sofia

ACuriousMind

anna v

QMechaniker

Über die 'de Broglie-Hypothese' und das Doppelspaltexperiment

Warum werden Wellenfunktionen in der Quantenmechanik als komplexe kreisförmige Wellen statt als echte ebene Wellen dargestellt?

Was bedeutet die Schrödinger-Gleichung wirklich?

In welche Richtung breiten sich Wellen der Form eikxeikxe^{ikx} aus?

Kann es eine Wellenfunktion geben, die physikalisch möglich, aber nicht differenzierbar (vielleicht sogar nicht stetig) ist?

Materiewelle und Wellenfunktion

Unendliche potenzielle Lösungen mit quadratischen Vertiefungen

Was ist der Unterschied zwischen einer quantenmechanischen Welle und einer klassischen Welle?

Warum können wir die Hälfte der allgemeinen Lösung weglassen?

Einführendes Quantum, Probleme mit dieser Randbedingung und diesem Potenzial