Unendliche potenzielle Lösungen mit quadratischen Vertiefungen

Meine Frage bezieht sich auf das Verständnis der verschiedenen Lösungen des Potentialquadrats.

Stellen Sie sich ein Quadrat vor, das auf diese Weise gut definiert ist:

$$V(x) = \begin{cases} ∞&\,{\rm if} x<0 \\ 0&\,{\rm if}\,x\in\left(0,L\right) \\ ∞&\,{\rm if} x>L. \end{cases}$$

Bei Anwendung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung erhalten wir:

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2\psi}{∂x^2} =E\psi,$$ und dann:

$$\frac{∂^2\psi}{∂x^2} =-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi.$$

Wenn wir definieren$k_1^2=-\frac{2mE}{\hbar^2}$Wir bekommen die Lösung

$$\psi_1=Ae^{k_1x}+Be^{-k_1x}.$$

Aber wenn wir definieren$k_2^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$Wir bekommen die Lösung

$$\psi_2=Ae^{ik_2x}+Be^{-ik_2x}.$$

So wie ich es sehe, beschreibt eine Lösung die Wellenfunktion mit reellwertigen Exponentialfunktionen, während die andere sie mit komplexwertigen Exponentialfunktionen (oder Sinus und Cosinus nach Eulers Formel) beschreibt.

Kann mir jemand bei diesem "mathematischen Unterschied" helfen zu verstehen, ob es einen "physikalischen Unterschied" zwischen beiden Lösungen gibt? Beschreiben sie unterschiedliche Wellenfunktionen? Gibt es etwas Einfaches, das ich vermisse?

PS: Diese Frage ist keine Hausaufgabe. Es geht darum, dass ich versuche, die Lösungen des unendlichen Potentialquadrats gut zu verstehen.