Kann es eine Wellenfunktion geben, die physikalisch möglich, aber nicht differenzierbar (vielleicht sogar nicht stetig) ist?

Question

Kann es eine Wellenfunktion geben, die physikalisch möglich, aber nicht differenzierbar (vielleicht sogar nicht stetig) ist?

Pranav Jeevan

Die Definition einer Wellenfunktion erfordert Stetigkeit und Differenzierbarkeit, damit sie die Schrödinger-Gleichung erfüllen kann. Meine Frage ist, ob diese Annahme für die Realität notwendig ist. Erfordert eine positive und normalisierbare Wahrscheinlichkeitsdichte, dass die Wellenfunktion differenzierbar oder stetig ist?

Wir wollen nur

\int | Ψ (X) |^{2} D X

$\int |Ψ(x)|^2\;dx$

Tut alles $\Psi(x)$ die dieses Kriterium erfüllen, fallen in die differenzierbare Kategorie? Eine maßgebliche Differentialgleichung wie die Schrödinger-Gleichung ermöglicht es uns, das vollständige Verhalten des Systems mit unserem Wissen über Randbedingungen vorherzusagen/zu verstehen. Kann ein System ohne herrschende Gleichung existieren, wie wir es kennen, da alle Differentialgleichungen mit der Kontinuitäts- und Differenzierbarkeitsannahme stehen, sonst ist es nutzlos. Kann ein physikalisches System von etwas anderem als einer Differentialgleichung beherrscht werden? Ein neues mathematisches Konstrukt, das diese Annahmen nicht benötigt?

Neugierig

Die Abbildung der Physik auf Funktionen, die auf metrischen Räumen leben, ist eine Abstraktion, daher existiert sie nirgendwo anders als in unseren Lehrbüchern und in unseren Köpfen, daher ist die Frage ausschließlich mathematischer Natur. Aus praktischen Gründen (die meisten Physikstudenten haben begrenzte mathematische Fähigkeiten) unterrichten wir normalerweise Physik mit Funktionen, die mindestens zweimal differenzierbar sind (und fügen dann eine verrückte Delta-Funktion hinzu, um mit der Lokalisierung fertig zu werden), aber nichts hindert Sie daran, alles zu tun " Funktionsanalyse" auf der Schrödinger-Gleichung und um den schwächsten Banachraum zu finden, in dem Sie einen Sinn daraus machen können.

ACuriousMind

Eng verwandt/Duplikate: Physikalischer Grund, warum die Ableitung einer Wellenfunktion stetig sein muss? , Ist es garantiert, dass sich die Wellenfunktion überall gut verhält? , Glättebeschränkung der Wellenfunktion

Der Quantenmann

Dies könnte helfen: physicalpages.com/2011/01/25/wave-function-borns-conditions

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Kann es eine Wellenfunktion geben, die physikalisch möglich, aber nicht differenzierbar (vielleicht sogar nicht stetig) ist?

Die Abbildung der Physik auf Funktionen, die auf metrischen Räumen leben, ist eine Abstraktion, daher existiert sie nirgendwo anders als in unseren Lehrbüchern und in unseren Köpfen, daher ist die Frage ausschließlich mathematischer Natur. Aus praktischen Gründen (die meisten Physikstudenten haben begrenzte mathematische Fähigkeiten) unterrichten wir normalerweise Physik mit Funktionen, die mindestens zweimal differenzierbar sind (und fügen dann eine verrückte Delta-Funktion hinzu, um mit der Lokalisierung fertig zu werden), aber nichts hindert Sie daran, alles zu tun " Funktionsanalyse" auf der Schrödinger-Gleichung und um den schwächsten Banachraum zu finden, in dem Sie einen Sinn daraus machen können.
Eng verwandt/Duplikate: Physikalischer Grund, warum die Ableitung einer Wellenfunktion stetig sein muss? , Ist es garantiert, dass sich die Wellenfunktion überall gut verhält? , Glättebeschränkung der Wellenfunktion
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zh19970205 · Answer 1

Was wir uns nicht gerade wünschen

\int | Ψ (X) |^{2} D X

$\int|\Psi (x)|^2\;dx$

Zum Beispiel

P = \int Ψ^{*} (X) (- ich ℏ) Grad Ψ (X) D X

$p=\int Ψ^*(x)(- i \hbar)\; \text{grad} Ψ(x)\;dx$

Wenn die Wellenfunktion nicht differenzierbar ist $\text{grad}$ wird zu einem schrecklichen Ergebnis kommen

Kann es eine Wellenfunktion geben, die physikalisch möglich, aber nicht differenzierbar (vielleicht sogar nicht stetig) ist?

Pranav Jeevan

Neugierig

ACuriousMind

Der Quantenmann

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zh19970205

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