In welche Richtung breiten sich Wellen der Form eikxeikxe^{ikx} aus?

Angenommen, wir haben eine Wellenfunktion

ψ ( X ) = A e ich k X + B e − ich k X .

Nach einiger Internetrecherche habe ich das gefunden

Bei Kopplung mit den üblichen zeitabhängigen Energie-(Phasen-)Faktoren in der vollständigen TDSE-Lösung, dann die e ich k X Begriffe geben richtige Wellen und das e − ich k X Begriffe erzeugen nach links gerichtete Wellen. Physikalisch der Begriff A e ich k X ist die ankommende Welle und B e − ich k X ist eine reflektierte Welle.

ich weiß, dass e ich k X = Sünde ⁡ ( k X ) + ich cos ⁡ ( k X ) , aber das sagt mir nichts darüber, in welche Richtung die Welle wandert (positiv oder negativ X ?).

Warum tun die e ich k X Begriffe schlagen richtig Wellen?

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Ich habe eine gute Antwort von @SteveB erhalten, die mich darüber informierte, dass ich auch den Realteil einer Welle mit Zeitabhängigkeit berücksichtigen und die Konsequenzen für Werte von berücksichtigen muss k größer als null und kleiner als null für ein positives Ergebnis ω

(1) F ( X , T ) = R e [ e ich k X − ich ω T ] = cos ⁡ ( k X − ω T )
In seiner Antwort erwähnt er das für k > 0 Die Welle wird nach rechts gehen k < 0 Die Welle wird nach links gehen.

Ich sehe, indem ich Diagramme zeichne, dass das Vorzeichen von k dreht die Welle um ( 1 ) über die j -Achse (bzw X -Achsenreflexion, da Cosinus gerade ist).

Wie können Sie die Richtung erkennen, in die sich eine Welle bewegt, indem Sie einfach darauf achten, in welche Richtung sie schwingt? j -Achse?

Soweit ich weiß, ist es nur eine Konvention, das kartesische Koordinatensystem zu verwenden, um Wellen Richtungen zuzuweisen. Wir können rechts oder links wählen, solange wir konsequent sind. Es wird also auf die normale x-Achse abgebildet.
Es hängt davon ab, ob die Zeitabhängigkeit e^+iwt aus e^-iwt ist. Physiker verwenden traditionell letzteres; Elektroingenieure verwenden traditionell ersteres!
Wellen haben immer eine Zeitabhängigkeit ... aber oft implizit! (weggelassen, um Formeln zu kürzen)
@SteveB Deutest du das an, wenn es einfach gegeben ist e ich k X Es gibt keine Möglichkeit zu sagen, ob sich die Welle nach links oder rechts bewegt oder nicht?
Er sagt, dass Sie, wenn die Zeitabhängigkeit nicht explizit angegeben ist, die Konvention kennen müssen, die der Autor verwendet hat, um die Richtung abzuleiten (die davon abhängt, ob die Vorzeichen der räumlichen und zeitlichen Terme gleich oder unterschiedlich sind).

Antworten (3)

Wenn eine Welle ist F ( X , T ) = R e [ e ich k X − ich ω T ] mit ω > 0 , dann geht es richtig, wenn k > 0 oder links wenn k < 0 . Siehst du warum? Versuchen Sie, zwei oder drei Werte von auszuwählen T und Pläne machen...

Aber Sie können alternativ eine Welle als schreiben F ( X , T ) = R e [ e ich k X + ich ω T ] , und jetzt ist es umgekehrt! k > 0 ist linksreisend. (In der Praxis wäre es üblicher zu schreiben F ( X , T ) = R e [ e − ich k X + ich ω T ] so dass k hat die normale Vorzeichenkonvention.)

Wie auch immer, die Schlüsselfrage ist, ob die Zeitabhängigkeit der Welle ist e − ich ω T oder e + ich ω T . Es kann ein kniffliges Thema sein, da dieser zeitabhängige Faktor manchmal weggelassen wird, um die Formeln einfacher aussehen zu lassen. Im Allgemeinen muss man das Buch oder die Zeitung durchsehen, um zu sehen, ob der zeitabhängige Faktor irgendwo notiert ist.

Wenn sie es nicht explizit sagen, gilt die Faustregel: Elektrotechniker verwenden fast immer e + ich ω T und Physiker fast immer verwenden e − ich ω T .

Zum Glück für Sie gibt es einen Bereich, der völlig eindeutig ist: Die Schrödinger-Gleichung wird universell verwendet e − ich ω T (Wo ω = E / ℏ ). Darauf können Sie sich also überall in der Quantenmechanik verlassen. Dieser Fall trifft auf Sie zu.

(Man könnte sich einen bösen Zwilling der Schrödinger-Gleichung mit dem entgegengesetzten Vorzeichen vorstellen ich , dh − ich ℏ ∂ Ψ / ∂ T = H Ψ . Sie ist objektiv nicht weniger korrekt als die traditionelle Schrödinger-Gleichung, nutzt aber e + ich ω T Zeitabhängigkeit statt. Zu unserem Glück hat, soweit ich weiß, noch nie jemand diese Version verwendet!)

Unter Verwendung der üblichen Methode der Variablentrennung ergibt sich die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

Ψ ( X , T ) = e − ich E T ψ ( X ) = e ich ( ± k X − E T ) ,
Wo ψ ( X ) ist die Lösung der zeitunabhängigen Gleichung und wir haben gesetzt ℏ = 1 .

Wellengleichungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie Lösungen der Form haben F ( X , T ) = F ( X − v T ) Wo v ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit. Stellen Sie sich vor, dass die Welle einen Höhepunkt bei hat X = v T . Im Laufe der Zeit wird die X Die Position des Peaks nimmt zu, und daher geht die Welle nach rechts.

Vergleichen Sie die allgemeine Lösung mit Ihren ebenen Wellen,

Ψ ( X , T ) = e ich ( ± k X − E T ) = e ± ich k ( X ∓ E k T ) = F ( X − v T )
es ist klar, dass e ich k X ist die rechts laufende Welle mit Geschwindigkeit v = E / k , während e − ich k X ist der nach links gerichtete mit Velocity v = − E / k .

k → ist ein Vektor, insbesondere der Wellenvektor. Es ist mit dem Impuls verwandt (z. B. in der Quantenmechanik,   P → = ℏ k → ). Ein positiver Impuls breitet sich in positiver Richtung aus, also nach rechts, wenn die Achse horizontal ist und die positive Richtung nach rechts geht.

Der Grund dafür, dass die Zeitabhängigkeit negativ ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass k → ⋅ X → − ω T ist unveränderlich. Wenn k → ein positiver Wellenvektor ist und Sie den Wert von ändern X von, sagen wir, 0 Zu 2 , dann haben Sie auch zeitlich und den Gesamtwert ein Stück nach vorne verschoben k → ⋅ X → − ω T darf sich nicht ändern.

Die Engineering-Konvention ist eigentlich nicht anders. Sie werden feststellen, dass Ingenieure verwenden J ω T anstatt − ich ω T Und   J = − ich . Denken Sie daran, dass es 2 Quadratwurzeln von gibt − 1 .

Danke für deine Antwort (+1). Zwei Fragen an Sie: Warum ist k ein Vektor? Ich bin neu in der Quantenmechanik, also frage ich das, weil ich noch nie auf einen Vektorbegriff für gestoßen bin k . Zweitens: Könnten Sie bitte näher erläutern, was Sie mit "die Zeitabhängigkeit ist negativ" meinen, kommt von der Tatsache, dass k → ⋅ X → − ω T ist invariant"? Vielen Dank.
k → ist ein Vektor, weil er mit dem Impuls zusammenhängt und der Impuls ein Vektor ist. Wenn Sie gerade erst mit der Quantenmechanik beginnen, tun Sie wahrscheinlich alles in 1-d, sodass diese Tatsache nicht offensichtlich ist. Was wäre, wenn Sie Impulse in zwei Richtungen hätten, so dass sich die Welle in einem Winkel zwischen ihnen ausbreitet? X Und j Achse? Seit P → = ℏ k → du erhältst P X = ℏ k X . P j = ℏ k j .
Gut gesagt, und ja, Sie haben Recht, wir machen im Moment alles in 1D! Also lass uns erstmal in 1D arbeiten; Warum ist k ⋅ X − ω T unveränderlich? Ich könnte Ihren Beitrag vielleicht einfacher bearbeiten, um ihn zu erklären. Danke noch einmal.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ändert sich nicht, nur weil Sie eine Koordinatentransformation durchführen. Das Auswählen verschiedener Koordinaten beschreibt immer noch dieselbe Welle. Betrachten Sie zwei Vektoren, v → Und w → , mit einigen x- und y-Komponenten. Drehen Sie nun Ihre Koordinaten: X ' = X cos ⁡ ( θ ) − j Sünde ⁡ ( θ ) , j ' = j cos ⁡ ( θ ) + X Sünde ⁡ ( θ ) . Multiplizieren Sie es aus, und Sie erhalten in beiden Koordinatensystemen dasselbe Ergebnis. Wie Sie Koordinaten beschriften, ändert nichts an physischen Dingen. Um die Zeitkomponente einzubeziehen, können Sie eine Galilei-Transformation durchführen, X ' → = X → − v → T , T = T '
In welche Richtung breiten sich Wellen der Form eikxeikxe^{ikx} aus?
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