Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen, dass eine gebundene Zustandswellenfunktion für ein beliebiges Potential in der Quantenmechanik immer real gewählt werden kann?

I) Ja, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (TISE) der Form

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m} {\bf \nabla}^2 +V({\bf r}) -E \right) \psi({\bf r}) ~=~0$$ Ist $\mathbb{C}$-linear und invariant $^1$unter komplexer Konjugation. Also wenn die Wellenfunktion $\psi$eine Lösung mit endlicher Quadratnorm ist, dann wird dies auch der Fall sein $\psi^{\ast}$, $$\frac{\psi+\psi^{\ast}}{2}\quad\text{and}\quad \frac{\psi-\psi^{\ast}}{2i}$$

Sei. Die beiden letzteren sind reelle Lösungen, und mindestens eine von ihnen hat eine Quadratnorm ungleich Null, wenn$\psi$hat eine Quadratnorm ungleich Null. Daher können wir immer eine normierbare Lösung als reell wählen. Siehe auch Problem 2.1b in Griffiths, Intro to QM, und diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

II) Beachten Sie, dass das gleiche Argument nicht für Streuzustände im kontinuierlichen Spektrum gilt, da die Randbedingungen im Unendlichen von$\psi^{\ast}$könnte aus sein.

Es gilt auch nicht für die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (TDSE).

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$^1$Hier haben wir implizit den Eigenwert verwendet$E\in\mathbb{R}$ist real, weil der Hamiltonoperator$H$ist selbstadjungiert. Beachten Sie, dass Selbstadjungiertheit allein nicht ausreicht. Z.B

$$H~=~\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i} {\bf \nabla}-q {\bf A}({\bf r}) \right)^2 +V({\bf r})$$ ist selbstadjungiert, aber die entsprechende TISE ist unter komplexer Konjugation nicht invariant.