Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung: Ist eine komplexe Lösung sinnvoll?

Question

Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung: Ist eine komplexe Lösung sinnvoll?

Joebevo

In meinen Notizen habe ich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + \frac{P^{2}}{ℏ^{2}} ψ = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{p^2}{\hbar^2}\psi=0\tag1$

Die Lösung dazu ist in meinen Notizen als angegeben

\begin{matrix} (2) & ψ (X) = C e^{(\frac{ich P X}{ℏ})} \end{matrix}

$\Large \psi(x)=C e^\left(\frac{ipx}{\hbar}\right)\tag2$

Da nun (1) eine homogene Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist, erhalten wir bei gegebenen Koeffizienten ein Paar komplexer Wurzeln:

\begin{matrix} (3) & R_{1, 2} = \pm \frac{ich P}{ℏ} \end{matrix}

$r_{1,2}=\pm \frac{ip}{\hbar}\tag3$

Somit sieht die allgemeinste Lösung in etwa so aus:

\begin{matrix} (4) & ψ (X) = C_{1} \cos (\frac{P X}{ℏ}) + C_{2} Sünde (\frac{P X}{ℏ}) \end{matrix}

$\psi(x)=c_1 \cos \left(\frac{px}{\hbar}\right)+c_2 \sin \left(\frac{px}{\hbar}\right)\tag4$

Anstatt die Lösung jedoch als Kosinus plus Sin zu schreiben, scheint der Professor einen Sonderfall der allgemeinen Lösung (mit $c_1=1$ Und $c_2=i$ ) und konvertierte das Ergebnis

\begin{matrix} (5) & ψ (X) = \cos (\frac{P X}{ℏ}) + ich Sünde (\frac{P X}{ℏ}) \end{matrix}

$\psi(x)=\cos \left(\frac{px}{\hbar}\right)+ i\sin \left(\frac{px}{\hbar}\right)\tag5$ in Exponentialform, mit

\begin{matrix} (6) & e^{ich θ} = \cos θ + ich Sünde θ \end{matrix}

$e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta \tag6$ (2) bekommen.

Die Hauptfrage, die ich diesbezüglich habe, lautet: Sollten wir nicht nach echten Lösungen suchen und die komplexen für diese spezielle Situation ignorieren? Nach meinem Verständnis $\Psi(x,t)$ ist komplex aber $\psi(x)$ sollte echt sein. Vielen Dank im Voraus.

Kenshin

Die Wellenfunktion muss und sollte nicht real sein.

Michael

Es gibt Fälle, in denen Sie mit einer echten Wellenfunktion davonkommen, aber der komplexe Fall ist allgemeiner und grundlegender. Der Freie-Teilchen-Hamiltonoperator

\hat{H}

$\hat{H}$ pendelt mit Reflexion

x \to - x

$x\rightarrow -x$ ,

p \to - p

$p\rightarrow -p$ , also Zustände mit Impulsen

\pm p

$\pm p$ sind beide Lösungen. In Gleichung (2) haben sie die Lösung gewählt, die ein Eigenwert des Impulsoperators ist

\hat{p}

$\hat{p}$ mit Pluszeichen

+

$+$ . Das andere Zeichen ist auch eine Lösung, die eine Welle darstellt, die in die entgegengesetzte Richtung geht. Ihre echte Lösung enthält sowohl nach links als auch nach rechts laufende Wellen.

Michael

Wenn Sie sich den Teilchenstrom ansehen

\vec{j} \propto ψ^{⋆} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{⋆}

$\vec{j}\propto \psi^\star \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\star$ Sie werden sehen, dass echte Wellenfunktionen Zuständen entsprechen, in denen kein Nettostrom vorhanden ist, sodass Sie nur dann wirklich erwarten können, dass sie auftauchen, wenn Sie gebundene Zustände haben. Wenn es nichts gibt, was ein Teilchen so zurückreflektieren kann, wie es gekommen ist, kann es sich frei ins Unendliche bewegen, und der Strom kann nicht verschwinden, sodass die Wellenfunktion nicht real sein kann.

QMechaniker

Siehe auch: The book of Griffiths, Intro to QM, Problem 2.1b, p.24; und dieser Phys.SE-Beitrag.

Antworten (1)

Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung: Ist eine komplexe Lösung sinnvoll?

Es gibt Fälle, in denen Sie mit einer echten Wellenfunktion davonkommen, aber der komplexe Fall ist allgemeiner und grundlegender. Der Freie-Teilchen-Hamiltonoperator $\hat{H}$ pendelt mit Reflexion $x\rightarrow -x$ , $p\rightarrow -p$ , also Zustände mit Impulsen $\pm p$ sind beide Lösungen. In Gleichung (2) haben sie die Lösung gewählt, die ein Eigenwert des Impulsoperators ist $\hat{p}$ mit Pluszeichen $+$ . Das andere Zeichen ist auch eine Lösung, die eine Welle darstellt, die in die entgegengesetzte Richtung geht. Ihre echte Lösung enthält sowohl nach links als auch nach rechts laufende Wellen.
Wenn Sie sich den Teilchenstrom ansehen $\vec{j}\propto \psi^\star \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\star$ Sie werden sehen, dass echte Wellenfunktionen Zuständen entsprechen, in denen kein Nettostrom vorhanden ist, sodass Sie nur dann wirklich erwarten können, dass sie auftauchen, wenn Sie gebundene Zustände haben. Wenn es nichts gibt, was ein Teilchen so zurückreflektieren kann, wie es gekommen ist, kann es sich frei ins Unendliche bewegen, und der Strom kann nicht verschwinden, sodass die Wellenfunktion nicht real sein kann.
Siehe auch: The book of Griffiths, Intro to QM, Problem 2.1b, p.24; und dieser Phys.SE-Beitrag.

Eduardo Guerras Valera · Answer 1

Es besteht keine Notwendigkeit für die Lösung $\psi(x)$ echt sein. Was real sein muss, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte , die "getragen" wird $\psi(x)$ . Auf eine lockere und unpräzise intuitive Weise können Sie an ein Fernsehbild denken, das von elektromagnetischen Wellen getragen wird. Das übertragene Signal ist nicht selbst das Bild, aber es trägt es, und Sie können das Bild wiederherstellen, indem Sie das Signal richtig decodieren.

In ähnlicher Weise trägt die komplexe Wellenfunktion, die durch Lösen der Schrödinger-Gleichung gefunden wird, die Information, "wo sich das Teilchen wahrscheinlich befindet", jedoch auf indirekte Weise. Die Information über die Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x)$ des Auffindens des Partikels wird wiederhergestellt $\psi(x)$ einfach durch Multiplikation mit seinem komplexen Konjugat:

ψ (X)^{*} ψ (X) = P (X)

$\psi(x)^*\psi(x) = P(x)$

das ergibt eine reelle Funktion als Ergebnis. Beachten Sie, dass es sich um eine Dichte handelt : Was Sie schließlich berechnen, ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dazwischen zu finden $x=a$ Und $x=b$ als $\int_{a}^{b} P(x) dx$

Wie Sie wissen, geht die Information über die Phase verloren, wenn Sie eine komplexe Zahl (/Funktion) mit ihrer komplexen Konjugierten multiplizieren:

ρ e^{ich θ} ρ e^{- ich θ} = ρ^{2}

$\rho e^{i \theta}\rho e^{-i \theta}=\rho^{2}$

Aus diesem Grund kann man an manchen Stellen (nicht ganz richtig) lesen, dass die Phase keine physikalische Bedeutung hat (siehe Fußnote), und dann fragt man sich vielleicht „wenn ich irgendwann reelle Zahlen bekomme, warum haben sie nicht eine Theorie erfunden, die das direkt behandelt echte Funktionen?".

Die Antwort ist, dass komplexe Wellenfunktionen das Leben unter anderem deshalb interessant machen, weil die Schrödinger-Gleichung linear ist und für ihre Lösungen das Superpositionsprinzip gilt. Wellenfunktionen addieren sich, und bei dieser Addition spielen die relativen Phasen die wichtigste Rolle.

Der archetypische Fall tritt beim Doppelspaltexperiment auf. Wenn $\psi_{1}$ Und $\psi_{2}$ sind die Wellenfunktionen, die das von der Lochzahl kommende Teilchen darstellen $1$ Und $2$ bzw. die endgültige Wellenfunktion ist

ψ_{1} + ψ_{2}

$\psi_{1}+\psi_{2}$ und somit wird die Wahrscheinlichkeitsdichte , das Teilchen zu finden, nachdem es das Sieb mit zwei Löchern durchquert hat, gefunden

P_{1 + 2} = (ψ_{1} + ψ_{2})^{*} (ψ_{1} + ψ_{2})

$P_{1+2}= (\psi_{1}+\psi_{2})^{*}(\psi_{1}+\psi_{2})$

Das heißt, Sie addieren zuerst die Wellenfunktionen, die die einzelnen Löcher darstellen, um die kombinierte komplexe Wellenfunktion zu erhalten, und berechnen dann die Wahrscheinlichkeitsdichte. Darin werden zusätzlich die Phaseninformationen mitgeführt $\psi_{1}$ Und $\psi_{2}$ spielen die wichtigste Rolle, da sie Interferenzmuster hervorrufen.

Kommentar: Feynman soll gesagt haben : „Eines der Leiden des Lebens ist, dass jeder die Dinge ein bisschen falsch benennt, und das macht alles in der Welt ein bisschen schwieriger zu verstehen, als es wäre, wenn es anders benannt wäre.“ Hier ist es ganz ähnlich. Jedes Buch sagt, dass die Phase der Wellenfunktion keine physikalische Bedeutung hat. Das ist nicht 100% richtig, wie Sie sehen.

Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung: Ist eine komplexe Lösung sinnvoll?

Joebevo

Kenshin

Michael

Michael

QMechaniker

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Eduardo Guerras Valera

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