Warum müssen wir zunächst annehmen, dass die Wellenfunktion komplex ist?

Es gibt ein grundlegendes Ergebnis, das bereits von Neumann vermutet, aber erst Ende des 20. Jahrhunderts von Solèr bewiesen wurde (zusätzlich zu einem bereits von Piron in den sechziger Jahren erhaltenen Teilergebnis), das (auf der Grundlage der Theorie der orthomodularen Gitter und der projektiven Geometrie) begründet ), dass die allgemeine Phänomenologie der Quantenmechanik nur durch drei Arten von Hilbert-Räumen beschrieben werden kann. (Alle fundamentalen Theoreme der Quantentheorie, wie zum Beispiel der Satz von Wigner, können in diesen drei Fällen bewiesen werden.) Der eine ist ein Hilbert-Raum über dem Körper der reellen Zahlen.

In diesem Fall können Wellenfunktionen als reellwertige Funktionen angenommen werden, wenn das System durch a beschrieben wird$L^2$. Die reinen Zustände sind hier Einheitsvektoren bis zu Vorzeichen statt bis zu Phasen. Es ist daher offensichtlich, dass die Zerlegung der komplexen Wellenfunktion in reellen und komplexen Teil keine echte QM ist, da in diesem Fall reine Zustände Einheitsvektoren bis zu sind$SO(3)$Drehungen.

Die zweite Möglichkeit ist die heute als "Standard" angesehene, ein Hilbert-Raum über dem Körper der komplexen Zahlen und die reinen Zustände sind bekanntlich Einheitsvektoren bis hin zu Phasen.

Die dritte, ziemlich exotische Möglichkeit ist ein Hilbert-Raum, dessen Skalare Quaternionen sind . Reine Zustände sind nun Einheitsvektoren bis hin zu quaternionischen Phasen (quaternionische Faktoren mit Einheitsnorm).

Diese dritte Möglichkeit wurde von mehreren Autoren untersucht (siehe zum Beispiel das Buch von Adler).

Tatsächlich kennen wir nur physikalische Systeme, die in komplexen Hilbert-Räumen beschrieben werden, gibt es einen grundsätzlichen Grund, die anderen beiden Fälle auszuschließen?

Es scheint möglich zu beweisen, dass die erste Möglichkeit aus physikalischen Gründen unter einigen Hypothesen nur theoretisch ist. Wenn man sich mit physikalischen Systemen befasst, die in echten Hilbert-Räumen beschrieben werden, induzieren CCRs eine komplexe Struktur, und tatsächlich ist es äquivalent, sich mit einem komplexen Hilbert-Raum zu befassen.

CCRs von$X$und$P$kann auf zwei verschiedene Arten ins Spiel einsteigen. Sie können annehmen, dass Ihre Theorie Ort und Impuls als fundamentale Operatoren zulässt, oder Sie können annehmen, dass Ihr System unter der Wirkung einer einheitlichen irreduziblen Darstellung der (erweiterten) Galileo-Gruppe kovariant ist. Ich finde beide Möglichkeiten nicht sehr zufriedenstellend. Einerseits ist die Position nicht so relevant (Massenteilchen lassen keine Vorstellung von Positionsoperatoren zu), andererseits ist die Gruppe von Galileo in der modernen Physik nicht grundlegend. Zusammen mit einem meiner Doktoranden, M. Oppio, habe ich kürzlich ein viel zufriedenstellenderes Argument entdeckt ( http://xxx.lanl.gov/abs/1611.09029 veröffentlicht in Reviews in Mathematical Physics 29n.6, (2017) 1750021 DOI: 10.1142/S0129055X17500210) zur Einführung einer natürlichen einzigartigen (Poincare'-invarianten) komplexen Struktur in eine Quantentheorie, die ursprünglich in einem realen Hilbert-Raum formuliert wurde, wobei angenommen wird, dass sie sich mit einem elementaren System relativistischer Natur befasst, unterstützend eine irreduzible Darstellung der Poincaré-Gruppe in Bezug auf Automorphismen des Gitters elementarer Sätze und die Zulassung einer irreduziblen von Neumann-Algebra von Observablen, die durch die Darstellung selbst erzeugt wird (innerhalb einer Verfeinerung von Wigners Idee des elementaren relativistischen Systems).

Die Frage ist einfach zu beantworten:
Da sich die Natur als verzögert reagierende Resonatoren darstellen lässt, gehen wir dazu über, sie mit komplexen Zahlen zu untersuchen.

Wenn eine elektronische Schaltung durch eine regelmäßige periodische Spannungsquelle angeregt wird (gemessen als reelle Funktion -$V_0\cos(\omega\cdot\ t)$zum Beispiel) ist die häufigste Antwort eine Änderung des Stroms, die nicht in Phase mit der Erregung ist:$I_0\cos(\omega\cdot\ t-\phi_0)$zum Beispiel. Dies ist eine echte (dh nicht komplexe) Antwort. Die Kondensatoren und Induktivitäten wirken als Energiespeicher und implizieren ein verzögertes und reelles Ansprechverhalten. Beispiel: Ein Kondensator integriert den Strom, dh er hat ein Gedächtnis für die Vergangenheit.

Der beste Weg, um die wirklich bewertete Antwort der elektronischen Schaltungen zu untersuchen, ist der komplexe Formalismus, der Hunderte von Jahren im Voraus von Mathematikern erfunden wurde, um Probleme in der Algebra zu lösen (beginnend mit den Wurzeln einer kubischen Gleichung).

Die Anregung/Antwort kann als reine komplexe Zahl dargestellt werden:
$V_0e^{j\omega t}$/$I_0e^{j\omega t-\phi_0}=ke^{\phi_0}$.
Wobei die Spannung und der Strom die Projektionen rotierender Vektoren in der Argand-Ebene auf die reale Achse sind.

Die Anwendung des 'komplexen' Formalismus in der QM ist so selbstverständlich wie in der Elektronik, solange es Resonatoren gibt, die verzögert ansprechen .

Diese Themen können mit anderen Formalismen behandelt werden, ohne komplexe Zahlen:
Quaternionen (von Hamilton)
GA - Geometrische Algebra siehe auch Hestenes: Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics

Randnotizen:
verzögert ... ist eine tiefe Folge der Relativitätstheorie. Es gibt nichts Besonderes an der „komplexen Natur“ der Wellenfunktion und es gibt nichts anzunehmen.
In der Physik verwenden wir die Sprache der Mathematik, aber sie sind unterschiedliche Bereiche, und wir können die Natur nicht zwingen, einen mathematischen Formalismus anzunehmen.
Alles, was mit komplexer Algebra gemacht werden kann, kann mit Quaternionen dargestellt werden. Die Verwendung des GA-Formalismus ist als Darstellung der physikalischen Welt viel interessanter als die übliche komplexe Darstellung.