Fourier-Transformation einer reellen Anfangswellenfunktion

Betrachten Sie die anfängliche Wellenfunktion, die gegeben ist durch:

Ψ ( X , 0 ) = Sünde ⁡ ( k 0 X ) .

Mir wurde beigebracht, dass man, um ein Wellenpaket zeitlich zu entwickeln, zuerst die Impulsraumdarstellung der Wellenfunktion finden muss, gegeben durch:

Φ ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ Ψ ( X , 0 ) e − ich k X D X .
Dann ist die zeitliche Entwicklung durch ein Integral über diese Impuls-Raumwellenfunktion gegeben.

Bei der Berechnung kam ich zu folgendem Ergebnis:

Φ ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ Sünde ⁡ ( k 0 X ) e − ich k X D X .
Verwenden Sie das Sünde ⁡ ( k 0 X ) = ℑ ( e ich k X ) wir erhalten:
Φ ( k ) = 1 2 π ℑ ( ∫ − ∞ ∞ e ich ( k 0 − k ) X D X ) .
Wir können das Integral als Deltafunktion erkennen:
Φ ( k ) = 1 2 π ℑ ( δ ( k 0 − k ) )
Aber da die Delta-Funktion reell ist, bekommen wir das Φ ( k ) = 0 . Also, was war hier falsch? Natürlich Φ kann nicht Null sein, da die Positionswellenfunktion nicht Null ist, also was habe ich falsch gemacht?

Antworten (1)

Ihr Problem ist - soweit ich sehen kann - ein einfacher Rechenfehler: Wobei Sie damit Recht haben Sünde ⁡ ( k 0 X ) = ICH ( e ich k 0 X ) , folgt daraus nicht

ICH ( e ich ( k 0 − k ) X ) = Sünde ⁡ ( k 0 X ) e ich k X (Falsch!) ,
wie Sie schnell sehen können, da die linke Seite reell sein sollte, aber die rechte Seite einen imaginären Teil hat.

Sie können jedoch einen sehr ähnlichen Trick anwenden, um die Impuls-Raum-Wellenfunktion zu finden, indem Sie dies erkennen

Sünde ⁡ ( k 0 X ) = e ich k 0 X − e − ich k 0 X 2 ich ,
von denen Sie die Definition von verwenden können δ − Funktion, um das zu zeigen
Φ ( k ) = δ ( k 0 − k ) + δ ( k 0 + k ) ,
stellt eine Überlagerung von ebenen Wellen dar, die sich mit dem gleichen Impuls nach links und rechts bewegen k 0 .

Randnotiz: Dies ist zwar für Ihre Frage nicht wesentlich, aber wenn Sie die Zeitentwicklung einer Wellenfunktion finden möchten, möchten Sie sie wirklich als lineare Kombination der Energieeigenzustände ausdrücken , nicht als Impuls-Eigenzustände. In diesem Fall, da ich annehme, dass Sie von einem freien Teilchen sprechen, können Sie eine Basis von Impuls-Eigenzuständen finden, die auch Energie-Eigenzustände sind, aber bei allgemeineren Problemen wird dies sicherlich nicht möglich sein. Ich vermute, dass dieser Ansatz auf Griffiths zurückzuführen ist, und ich finde, dass er anfangs viele Studenten verwirrt.

Danke! Das war ein unangenehmer Fehler, ich bin es einfach zu gewohnt, Im und Re aus Integralen zu nehmen, wenn der Integrand ein Produkt zweier Funktionen ist. Nicht berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion komplex war! Im letzten Teil Ihrer Frage gehe ich davon aus, dass Sie meinen, die Impulsdarstellung auf diese Weise nur für freie Teilchen zu finden, aber für den allgemeinen Fall sind Energieeigenzustände der richtige Weg, oder?
Ja, das stimmt.
Fourier-Transformation einer reellen Anfangswellenfunktion
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