Wellenpaketausdruck und Fourier-Transformationen

Wenn wir ein Wellenpaket aufschreiben, versuchen wir, das folgende Problem zu lösen: Wenn wir ein anfängliches Profil für unser Wellenpaket gegeben haben,$\psi(x,0)$, wie wird es in Zukunft aussehen? Mit anderen Worten, wir wollen finden$\psi(x,t)$gegeben$\psi(x,0)$. Um dieses Problem zu lösen, brauchen wir eine Wellengleichung, die uns sagt, wie sich das Wellenpaket mit der Zeit entwickelt. Für unterschiedliche Wellen in unterschiedlichen Kontexten haben wir unterschiedliche Wellengleichungen. Aber wir nehmen zwei Dinge über die Wellengleichung an:

• Es ist linear. Das bedeutet, wenn$\psi_1(x,t)$ist eine Lösung u$\psi_2(x,t)$ist dann eine Lösung$a_1\psi_1(x,t)+a_2\psi_2(x,t)$ist eine Lösung. Verallgemeinernd bedeutet es, dass wenn$\psi_k(x,t)$ist eine Lösung, so ist$\int dk\ a_k\psi_k(x,t)$.

• Wenn wir mit einem anfänglichen Profil beginnen$\psi(x,0)=e^{ikx}$, dann ist die Lösung unserer Wellengleichung$\psi(x,t)=e^{i(kx-\omega_k t)}$, Wo$\omega_k$ist eine Konstante, von der abhängen kann$k$.

Ob generische Wellengleichungen, wie die Gleichung für eine Welle an einer Saite oder die Schrödinger-Gleichung, diese Eigenschaften erfüllen, können Sie selbst nachprüfen. Nun, sobald wir wissen, dass die Wellengleichung diese Eigenschaften hat, können wir unser Problem lösen!

Zuerst erkennen wir, dass durch Eigenschaft (2) alle Funktionen der Form$e^{i(kx-\omega_k t)}$sind Lösungen unserer Wellengleichung. Das bedeutet, dass nach Eigenschaft (1) jede Linearkombination dieser Funktionen auch eine Lösung unserer Wellengleichung ist. Wir können also eine Vermutung für die Lösung aufschreiben:

Bis jetzt,$g(k)$ist nur eine unbekannte Funktion. Jede Wahl von$g(k)$ergibt eine Lösung der Wellengleichung durch die Eigenschaften (1) und (2). Aber wir brauchen auch unsere Lösung, die zu unserem Ausgangsprofil passt,$\psi(x,0)$. Einstecken$t=0$gibt also eine Bedingung an$g(k)$:

Nach dem Satz von Fourier können wir dann sofort die finden$g(k)$.

Nun, woher sie kommen ... wie wäre es, wenn ich Ihnen erkläre, was sie jeweils im Kontext der Quantenmechanik/Physik bedeuten?

In 1-D jede analytische Funktion$\psi(x)$An$(-\infty, +\infty)$kann als unendliche Summe von Sinusfunktionen geschrieben werden.

Nehmen wir nun unsere Funktion an$\psi(x)$ist ein$t=0$"Momentaufnahme" einer zeitabhängigen Funktion$\psi(x,t)$.

Unter Verwendung dieser Momentaufnahme wird Ihr 2. Integral, bekannt als die Fourier-Transformation von$\psi(x,0)$, gibt Ihnen die relativen Stärken$g(k)$jeder Welle in der unendlichen Summe ausmachen$\psi$. Die tatsächliche Amplitude jeder beitragenden Welle ist$g(k)dk$, was bedeutet, dass es sich um eine infinitesimale Menge handelt, aber einige Wellen tragen eine „größere“ infinitesimale Menge bei als andere. Hier,$k$ist echt, aber$g(k)$ist im Allgemeinen komplexwertig.

Nehmen wir nun an, dass alle Sinusfunktionen, die sich zu summieren$t=0$Funktion sind eigentlich$t=0$Momentaufnahmen von wandernden harmonischen Wellen, bei denen sich jede harmonische Welle mit einer Phasengeschwindigkeit bewegt, die gleich ist$\omega/k$wenn die Uhr läuft. In weiten Teilen der Physik ist es normalerweise so$\omega$ist eine Funktion von$k$. Wenn$\omega(k)=ck$, Wo$c$eine Konstante ist, können wir sehen, dass die Phasengeschwindigkeit jeder harmonischen Welle gleich ist; es ist nur$c$. Wie auch immer, wenn$\omega$ist eine kompliziertere Funktion von$k$, dann jede Welle, die zum Gesamten beiträgt$\psi$Die Funktion bewegt sich mit einer anderen Phasengeschwindigkeit. Dies ist ein wichtiges Konzept, das erklärt, warum sich Wellenpakete, die Teilchen darstellen, mit der Zeit ausbreiten.

Was Ihr erstes Integral also sagt, ist die zeitabhängige komplexe Wellenfunktion$\psi(x,t)$ist die unendliche Summe von wandernden harmonischen Wellen, die jeweils eine komplexe relative Amplitude von haben$g(k)$.

Wenn die Komponente Wellen bildet, aus denen Ihr besteht$t=0$Wellenfunktion bewegen sich alle mit der gleichen Phasengeschwindigkeit, dann werden Sie sehen, wie sich Ihre Wellenfunktion mit der gleichen Geschwindigkeit fortbewegt, ohne ihre Form zu ändern. Wenn die Komponentenwellen jedoch einen Bereich unterschiedlicher Phasengeschwindigkeiten aufweisen, bedeutet dies, dass Ihre Wellenfunktion ihre Form im Laufe der Zeit ändert.

Wenn die g(k)-Funktion wie eine "Glockenkurve" aussieht, die um einen Mittelwert zentriert ist$k_0$, dann sieht der Realteil Ihrer zeitabhängigen Wellenfunktion wie ein oszillierendes Wellenpaket aus, dessen Amplitude sich mit der Zeit erweitert und verringert, während es sich fortbewegt.