Rekonstruktion von "Wellenfunktions"-Phasen aus |ψ(x)||ψ(x)||\psi(x)| und |ψ~(p)||ψ~(p)||\tilde \psi(p)|

Nein. Betrachten Sie irgendeinen Zustand mit einer Impulswellenfunktion, die symmetrisch um Null ist. Seine normquadratischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Ort-Raum und im Impuls-Raum werden durch die Zeitumkehr nicht verändert, obwohl dies bei der Wellenfunktion eindeutig der Fall ist.

Hier ist ein explizites Beispiel. Nehmen Sie das vier Gaußsche Wellenpaket der mittleren Positionen$x_0$oder$-x_0$, mittlere Impulse$p_0$oder$-p_0$, und räumliche Ausbreitung$\sigma$:

$\psi_{(\pm_x , \pm_p)} (x) \propto e^{-(x \mp_x x_0))^2/4\sigma^2 - i x (\pm_p p_0) }$.

(Hier,$\pm_x$und$\pm_p$sind zwei binäre Variablen, die die Werte Plus oder Minus annehmen.$\mp_x$und$\mp_p$sind ihre Gegensätze.) Betrachten Sie nun die beiden Superpositionen

$\phi_{\mathrm{away}} = \psi_{(+,+)} + \psi_{(-,-)}$,

$\phi_{\mathrm{toward}} = \psi_{(+,-)} + \psi_{(-,+)}$.

$\phi_{\mathrm{away}}$ist die Überlagerung zweier Wellenpakete, die durch getrennt sind$2 x_0$sich mit relativer Geschwindigkeit voneinander entfernen$2 p_0/m$.$\phi_{\mathrm{toward}}$ist dasselbe mit den Paketen, die sich aufeinander zu bewegen. Das kann man überprüfen$\vert \phi_{\mathrm{toward}} (x)\vert^2 = \vert \phi_{\mathrm{away}} (x) \vert^2$und$\vert \tilde{\phi}_{\mathrm{toward}} (p) \vert^2 = \vert\tilde{\phi}_{\mathrm{away}} (p) \vert^2$.

Ich weiß nicht, ob es andere Beispiele als die Zeitumkehr gibt.

Ein intuitiver dimensionaler Grund, warum es nicht funktionieren konnte: ein Zustandsvektor in$\mathbb C^{N+1}$wird durch 2N reelle Koordinaten beschrieben (eine komplexe Dimension ist irrelevant), ebenso wie seine Fourier-Transformation. Wenn wir nur die normalisierten quadratischen Moduln der Komponenten betrachten, haben wir auch 2N reelle Zahlen, also wenn diese tatsächlich unabhängig wären, sollten wir in der Lage sein, den ursprünglichen Vektor zu rekonstruieren.

Sie sind jedoch nicht unabhängig: Die bekannteste Abhängigkeit zwischen dem quadratischen Modul einer Funktion und dem ihrer Fourier-Transformation ist die Heisenberg-Unschärferelation (von der Analoga in einer endlichdimensionalen Umgebung existieren, wenn Sie in einer Umgebung bleiben wollen, in der Dimension Zählen ist einfach).

Ein weiteres wird durch das Paley-Wiener-Theorem bereitgestellt, das impliziert, dass eine kompakt unterstützte Funktion eine Fourier-Transformation hat, die auf keiner offenen Menge identisch Null ist.

Die kleinsten Gegenbeispiele treten in einem 2-dimensionalen Zustandsraum auf: die Fourier-Transformation von$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ist$\begin{pmatrix}a + b\\ a - b\end{pmatrix}$(bis auf eine multiplikative Konstante), also zB$\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix}$und$\begin{pmatrix}1\\ -i\end{pmatrix}$beschreiben unterschiedliche Zustände, aber sie haben gleiche Moduli, ebenso wie ihre Fourier-Transformationen.

Kommentare zur Frage (v1):

I) Rekonstruktion von Phasen aus Modul$^1$ $|f(x)|$eines Signals$f(x)$und Modul$|\tilde{f}(k)|$seines Fourier-transformierten (FT) Signals

ist ein interessantes und wahrscheinlich gut untersuchtes technisches Problem, entweder für kontinuierliche oder diskrete Fourier-Transformation.

II) Beispiel: Ein Gauß-Signal

mit Fouriertransformation

mit Modul

und

beziehungsweise. Interessant ist, dass wenn man zusätzlich weiß, dass das Signal von Gaußscher Form ist (2), dann lässt sich aus (4) und (5) die Konstante rekonstruieren$a$bis auf evtl. eine Zeichenmehrdeutigkeit von${\rm Im}(a)$; die Konstante$A$bis zu einer Phase; und die Konstante$b$ist einzigartig für die gegebene Wahl von$a$.

III) Das obige Gaußsche Beispiel weckt die Hoffnung, dass der Modul eines Signals und der Modul seiner FT ausreichend komplementäre Informationen sind, so dass eine Rekonstruktion bis zu möglicherweise einer endlichen Anzahl von selbstkonsistenten Lösungen und modulo einer gesamten globalen Phase möglich ist.

IV) Wir spekulieren, dass es in der Praxis möglich sein könnte, ein selbstkonsistentes Signal aus seinem Modulus und dem Modulus seiner FT über einen iterativen Festkommaalgorithmus zu rekonstruieren$^2$: Erste Fourier-Transformation des bloßen Moduls des Signals; als nächstes die Phasen des Ergebnisses mit dem anfänglich gegebenen FT-Modul multiplizieren; dann inverse FT; als nächstes die Phasen des Ergebnisses mit dem anfänglich gegebenen Modul multiplizieren; dann FT; und so weiter, bis eine selbstkonsistente Festpunktkonfiguration auf jeder Seite der FT erreicht ist.

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$^1$In der Signalanalyse wird der Modul auch als Amplitude, Magnitude oder Absolutwert bezeichnet.

$^2$Update: Es stellt sich heraus, dass dieser Algorithmus existiert und als Gerchberg-Saxton-Algorithmus bekannt ist (Huttipp: WetSavannaAnimal alias Rod Vance).

Antwort ist nein. Betrachten Sie zwei Wellen:$\psi_{1} (x,t)= \psi (x,t)e^{i\alpha t} \space$und$\space \psi_{2} (x,t)= \psi (x,t)e^{i\beta t}$. Sicherlich sind diese Wellen anders, aber$|\psi_{1} (x,t)|=|\psi_{2} (x,t)|=| \psi (x,t)|$. Aus physikalischen Messungen kann man also keine Welle im Detail bestimmen.