Finden von ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) für ein freies Teilchen ausgehend von einem Gaußschen Wellenprofil ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Betrachten Sie ein freies Teilchen mit einer Gaußschen Wellenfunktion,

ψ ( X )   =   ( A π ) 1 / 4 e − 1 2 A X 2 ,
finden ψ ( X , T ) .

Die Wellenfunktion ist bereits normalisiert, also ist als nächstes die Koeffizientenerweiterungsfunktion ( θ ( k ) ), Wo:

θ ( k ) = ∫ − ∞ ∞ ψ ( X ) e − ich k X D X .
Aber diese Gleichung scheint ohne Fehlerfunktion unmöglich zu lösen zu sein (wie mir Maple 16 sagt).

Gibt es einen Trick um das zu lösen?

Ich bin etwas verwirrt, warum versuchst du zu finden ψ ( k ) ? Oder wie du es schreibst, θ ( k ) ?
Kannst du setzen, was du durch Maple 16 gelaufen bist?

Antworten (1)

Ihre Frage scheint ziemlich konfus,

  • Zuerst fragen Sie nach der zeitlichen Entwicklung der Wellenfunktion. Dazu müssen Sie die Schrödinger-Gleichung verwenden ich ∂ ψ / ∂ T = H ^ ψ und müssen daher den Hamiltonoperator kennen ( H ^ ).
  • Zweitens scheinen Sie die Fourier-Transformation der Wellenfunktion ausarbeiten zu wollen. Dadurch erhalten Sie nicht die Wellenfunktion als Funktion der Zeit, sondern die Wellenfunktion im Impulsraum. Das Integral, das Sie berechnen möchten, ist die Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion, die selbst eine Gauß-Funktion ist:
    ∫ − ∞ ∞ e − A X 2 / 2 e − ich k X D X = ∫ − ∞ ∞ e − A X 2 / 2 ( cos ⁡ k X − ich Sünde ⁡ k X ) D X .
    Der zweite Term im obigen Integral ist ungerade und ergibt Null. Der erste Term ist ein bekanntes Integral und ergibt
    = 2 π A e − k 2 / 2 A ,
    ein Gaussian wie versprochen mit einer Breite, die umgekehrt proportional zum Original ist.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Maple auch in der Lage sein sollte, das Integral für Sie zu berechnen, wie es in meiner ersten Zeile steht (Mathematica kann), also nehme ich an, dass Sie es einfach nicht richtig eingeben.

Bearbeiten: Entschuldigung für den ersten Kommentar oben. Ich hatte nicht gesehen, dass Sie geschrieben hatten, dass dies für ein freies Teilchen war , also kennen Sie tatsächlich den Hamilton-Operator, das Potenzial ist v ( X , T ) = 0 , und so kennen wir aus der Schrödinger-Gleichung die zeitliche Entwicklung der Energie-Eigenzustände ψ ( X , T ) = e − ich ω T ψ ( X ) . Für das freie Teilchen haben wir ω = k 2 / 2 M Sie kennen also die zeitliche Entwicklung der Fourier-Transformation.

Nehmen Sie also die oben angegebene Fourier-Transformation, wenden Sie die Zeitentwicklung an und transformieren Sie zurück in den Positionsraum, den wir haben

ψ ( X , T ) = ∫ − ∞ ∞ e − k 2 / 2 A e − ich ω T e ich k X D k = ∫ − ∞ ∞ e − k 2 2 A ( 1 + ich A T / M ) e ich k X D k ∼ e 1 2 X 2 1 / A + ich M T
wie #Ron in seinem Kommentar betonte. Dies zeigt, wie sich das Wellenpaket mit der Zeit ausbreitet.

Die Fourier-Transformation entwickelt sich durch einfache Phasen, und eine umgekehrte Fourier-Transformation ergibt die Zeitentwicklung, die eine sich ausbreitende Gaußsche ist, so dass das a überall durch ersetzt wird 1 ( 1 / A ) + ich T
Oh ja, ich hatte den Teil nicht gesehen, der besagte, dass dies für ein kostenloses Teilchen war (doh!). Habe der Antwort eine Bearbeitung hinzugefügt, um sie zu vervollständigen. Danke für den Hinweis.
Finden von ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) für ein freies Teilchen ausgehend von einem Gaußschen Wellenprofil ψ(x)ψ(x)\psi(x)
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