Fourier-Transformation in der Wellenfunktion des freien Teilchens

Question

Fourier-Transformation in der Wellenfunktion des freien Teilchens

QuantumOscillator

Ich habe die Einführung in die Quantenmechanik von David Griffiths gelesen und bin in Kapitel 2, Seite 45. Das sagt er

Die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist immer noch eine Linearkombination von trennbaren Lösungen (nur dieses Mal ist es ein Integral über die kontinuierliche Variable $k$ , statt einer Summe über den diskreten Index).

Das heißt, wir können mit freie Teilchen mit allgemeiner Wellenfunktion schreiben $\Psi(x,t)$ als Fourier-Transformation der Eigenfunktion der Schrödinger-Gleichung (glaube ich). dh,

Ψ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) e^{ich (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T)} D k

$\begin{equation} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \phi(k) e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk \end{equation}$ Wo

ϕ (k)

$\phi(k)$ ist Eigenfunktion der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen. (glaube ich)
Aber dann schreibt er

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ (X, 0) e^{- ich k X} D X

$\begin{equation} \phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{equation}$ aus dem Satz von Plancherel. Dies bedeutet eindeutig, dass die Eigenfunktion der Schrödinger-Gleichung von der anfänglichen Wellenfunktion des Teilchens abhängt.
Ist meine Deutung richtig? Ich bin mir nicht sicher, weil das für mich nicht sehr intuitiv ist.

Bedeutet dies auch die Fourier-Transformation einer beliebigen allgemeinen freien Teilchenwellenfunktion $\Psi(x,t)$ ist die Eigenfunktion der Schrödinger-Gleichung?

Antworten (2)

Fourier-Transformation in der Wellenfunktion des freien Teilchens

Thomas Fritsch · Answer 1

$Ψ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) e^{ich (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T)} D k$ $\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \phi(k) e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk$ Wo $\phi(k)$ ist Eigenfunktion der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen (glaube ich)

Nein, Sie haben Ihr Lehrbuch falsch verstanden. $\phi(k)$ ist eine völlig willkürliche Funktion. Für jede Funktion $\phi(k)$ Das $\Psi(x,t)$ wird eine Lösung der Schrödinger-Gleichung sein

ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} Ψ (X, T) = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ (X, T)

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t)$ nur weil

e^{ich (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T)}

$e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}$ für alle

k

$k$ ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung.

Wenn Sie die oben genannte Lösung einnehmen $\Psi(x,t)$ zum Zeitpunkt $t=0$ , dann hast du

Ψ (X, 0) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) e^{ich k X} D k

$\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \phi(k) e^{ikx}dk$

Das bedeutet, dass $\phi(k)$ ist die Fourier-Transformation von $\Psi(x,0)$ . Sie können diese Transformation umkehren und erhalten

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ (X, 0) e^{- ich k X} D X

$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \Psi(x,0) e^{-ikx}dx$

Ofek Gillon · Answer 2

Dein Problem liegt in diesem Satz:

Wo $\phi (k)$ ist Eigenfunktion der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen. (Ich finde)

Deine Deutung ist falsch. Die Eigenfunktion ist $e^{ikx}$ Und $\phi (k)$ ist nur eine Zahl, die Ihnen den Koeffizienten dieser Eigenfunktion beim "Konstruieren" der Wellenfunktion angibt. Es könnte eine Funktion von sein $k$ (jede Eigenfunktion hat einen anderen Betrag beim Aufbau der Wellenfunktion), aber keine Funktion von $x$ , was bedeutet, dass es keine Eigenfunktion ist. Um diese Zahl zu berechnen, verwenden Sie die Fourier-Transformation, die Sie in Ihre zweite Gleichung geschrieben haben (und die hängt von der anfänglichen Wellenfunktion ab, aber die Eigenfunktion selbst ändert sich nicht . )

Fourier-Transformation in der Wellenfunktion des freien Teilchens

QuantumOscillator

Antworten (2)

Thomas Fritsch

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