Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen mit Fourier-Transformationen

Die Differentialgleichung sieht also wie folgt aus:

ich ℏ ∂ ψ ∂ T = − ℏ 2 2 M Δ ψ

Wo ℏ , M > 0 , ψ ( T , X ) ∈ C , T > 0 , X ∈ R 3 Und

ψ ( 0 , X ) = exp ⁡ ( − | X | 2 ) .

Ich denke, dies kann elegant mit einer räumlichen Fourier-Transformation gelöst werden. Ich weiß, dass:

∂ ψ ∂ T ^ = ∂ ψ ^ ∂ T ,

aber wie rechne ich

Δ ψ ^

und verwenden Sie es dann, um die PDE zu lösen?

Antworten (1)

Sie sollten kein Fourier in der Zeitkoordinate nur in den Positionskoordinaten (dh xyz) durchführen. Und das wissen Sie durch einfache Berechnungen Δ ψ ^ ist nur − k 2 ψ ( T , k → ) Wo k → ist (x, y, z) nach der Fourier-Transformation. Und wenn Sie dies in die Gleichung einsetzen, erhalten Sie eine einfache Ode für ψ ^ ( T , k → ) Weil ∂ ψ ∂ T ^ = ∂ ψ ^ ∂ T , wenn Sie die Positionskoordinaten wie gesagt transformieren.

Danke schön. Könnten Sie erklären, wie man berechnet Δ ψ ^ ?
Stecken Sie einfach die Fourier-Transformation df/dx ein und erhalten Sie -ik F ^ und die anderen Koordinaten sind gleich. Um den Laplzien zu erhalten, wenden Sie einfach die Ableitung zweimal an, um zu erhalten ( − ich k ) 2 = k 2 .
Nachdem Sie df/dx angeschlossen haben, führen Sie außerdem eine partielle Integration durch, um das zu erhalten, was ich gesagt habe
Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen mit Fourier-Transformationen
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