Welche Beziehung besteht zwischen Orts- und Impulswellenfunktionen in der Quantenphysik?

Question

Welche Beziehung besteht zwischen Orts- und Impulswellenfunktionen in der Quantenphysik?

Physik
Wellenfunktion
Fourier-Transformation
Quantenmechanik

Adrianos

Das habe ich an einigen Stellen gelesen $\psi(p)$ Und $\psi(q)$ sind Fourier-Transformierte voneinander (z. B. Penrose). Aber ist eine Fourier-Transformation nicht einfach eine Zerlegung einer Funktion in eine Summe oder ein Integral anderer Funktionen? Während die Positions- und Impulswellenfunktionen im Wesentlichen unterschiedlich, aber verwandt sind. Sie müssen Erwartungswerte bewahren wie die Beziehung der klassischen Mechanik, $<p>=m~\frac{d<q>}{dt}$ (Wo $<p>$ Und $<q>$ sind jetzt Erwartungswerte).

Beispielsweise impliziert ein Impulswellenpaket, das einen über die Zeit konstanten positiven Erwartungswert hat, ein Positionswellenpaket, das sich über die Zeit in eine bestimmte Richtung bewegt. Einfach zu sagen, dass es eine Fourier-Transformation gibt, scheint diese wichtige Beziehung zu verschleiern.

Kostja

Ich bin mehr oder weniger einverstanden. Aber das ist keine Frage.

Antworten (3)

Welche Beziehung besteht zwischen Orts- und Impulswellenfunktionen in der Quantenphysik?

Ich bin mehr oder weniger einverstanden. Aber das ist keine Frage.

Lubos Motl · Answer 1

Lieber user1602, ja, $\psi(x)$ Und $\tilde\psi(p)$ Fourier-Transformierte voneinander sind. Dies beantwortet die einzige wirkliche Frage, die Sie gestellt haben. Kennt man also die exakte Wellenfunktion als Funktion des Ortes, kennt man auch die Wellenfunktion als Funktion des Impulses und umgekehrt.

Insbesondere gibt es keine "Wellenfunktion", von der beide abhängen würden $x$ Und $p$ . Tatsächlich würde eine solche „Wellenfunktion“ gegen ein Grundprinzip der Quantenmechanik, die Unschärferelation, verstoßen.

Die Wellenfunktion - das hängt nur davon ab $x$ oder das hängt nur davon ab $p$ - merkt sich alles, was sich ein Teilchen über seine Position und seinen Impuls merken kann und muss. Zum Beispiel eine gute Wellenfunktion, die ein um lokalisiertes Teilchen beschreibt $x_0$ und bewegt sich mit Schwung umher $p_0$ wird von gegeben

ψ_{X_{0}, P_{0}} (X) = C \exp (- K (X - X_{0})^{2} + ich P_{0} X / ℏ)

$\psi_{x_0,p_0}(x) = C \exp\left(-K(x-x_0)^2 + ip_0 x/\hbar\right)$ Die Konstante

K

$K$ bestimmt die Breite, aber Sie sehen, dass die Wellenfunktion wegen des quadratischen Terms nur in der Nähe nicht verschwindet

x_{0}

$x_0$ . Andererseits ist die

i p x

$ipx$ Term garantiert, dass sich das Teilchen mit dem richtigen Impuls nach rechts bewegt. Es ist alles in der sich ändernden Phase der Wellenfunktion kodiert. Je schneller die Phase der

ψ (x)

$\psi(x)$ wechselt mit

x

$x$ , desto größer ist der Impuls des Teilchens. Dreht sich die Phase im oder gegen den Uhrzeigersinn, bewegt sich das Teilchen nach rechts bzw. nach links.

Die Fourier-Transformation der obigen Wellenfunktion ist so etwas wie

{\tilde{ψ}}_{X_{0}, P_{0}} (P) = C^{'} \exp (- (P - P_{0})^{2} / K^{'} - ich P X_{0} / ℏ)

$\tilde \psi_{x_0,p_0}(p) = C' \exp\left(-(p-p_0)^2/K' - ip x_0/\hbar\right)$ Probier es einfach. Die Schrödinger-Gleichung garantiert, dass sich das Wellenpaket in die richtige Richtung – und mit der richtigen Geschwindigkeit – kodiert bewegt

p_{0}

$p_0$ , und die Schwerpunktposition des Pakets ändert sich ebenfalls entsprechend. Die Normalisierungskonstanten

C, C^{'}

$C,C'$ sind physikalisch irrelevant, können aber gewählt werden, um die Zustandsvektoren auf Eins zu normalisieren. Die Parameter

K, K^{'}

$K,K'$ Angabe der Breite gleich sind, bis auf eine Multiplikation mit einer numerischen Konstante und einer Potenz von

ℏ

$\hbar$ : aber es stimmt, dass die Breite in der

x

$x$ Darstellung ist invers zur Breite in der

p

$p$ Darstellung. Das impliziert auch die Unschärferelation.

Es ist nicht wahr, dass man "Wellenfunktionen" braucht, die sowohl vom Ort als auch vom Impuls abhängen. Es ist der springende Punkt der Unschärferelation, dass Sie die Amplituden nur in Bezug auf eine dieser Größen angeben dürfen – die andere pendelt nicht mit ihr. Wenn man wählt $\psi(x)$ , ist der Positionsoperator eine Multiplikation mit $x$ und der Schwung $p$ ist einfach der Operator $-i\hbar\partial/\partial x$ . Ebenso z $\tilde\psi(p)$ , der Impulsoperator ist die Multiplikation mit $p$ und der Positionsoperator $x$ gleich $+i\hbar \partial/\partial p$ . Es ist ziemlich symmetrisch in Bezug auf $x,p$ .

Ich denke, was ich nicht verstanden hatte, ist, dass die beiden Funktionen einen einzigen Zustand in unterschiedlichen Begriffen ausdrücken.
Ja, @ user1602, es ist nur eine andere Wahl der Basis, um denselben Zustandsvektor auszudrücken (in diesem Fall sind beide Basen "kontinuierlich", also werden Summen über Basen durch Integrale ersetzt, aber die Logik ist dieselbe).

Raffael · Answer 2

Wenn Sie einen Staat haben $|\psi\rangle$ , ist die Positionswellenfunktion:

⟨ \vec{X} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \vec{x}\mid \psi\rangle \end{equation}$

und die Impulswellenfunktion ist:

⟨ \vec{P} ∣ ψ ⟩ = \int D \vec{X} ⟨ \vec{P} ∣ \vec{X} ⟩ ⟨ \vec{X} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \vec{p}\mid \psi\rangle = \int\;d\vec{x}\; \langle\vec{p}\mid\vec{x}\rangle\langle \vec{x}\mid\psi\rangle \end{equation}$

Der Grund, warum die beiden Ausdrücke "verschieden, aber verwandt" sind, ist derselbe, warum sie die Erwartungswerte beibehalten. Sie wird Vollständigkeitsrelation genannt $\int\; d\vec{x}\;\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid = 1$ , $\int\; d\vec{p}\;\mid\vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid = 1$ :

\int D \vec{X} D {\vec{X}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{X} ⟩ ⟨ \vec{X} ∣ A ∣ {\vec{X}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{X}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \int\;d\vec{x}\; d\vec{x}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid A\mid\vec{x}^{\prime}\rangle\langle\vec{x}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

= \int D \vec{X} D {\vec{X}}^{'} D \vec{P} D {\vec{P}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{P} ⟩ ⟨ \vec{P} ∣ \vec{X} ⟩ ⟨ \vec{X} ∣ A ∣ {\vec{X}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{X}}^{'} ∣ {\vec{P}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{P}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} =\int\;d\vec{x}\; d\vec{x}^{\prime}\; d\vec{p}\; d\vec{p}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{p}\rangle\langle \vec{p}\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid A\mid\vec{x}^{\prime}\rangle\langle \vec{x}^{\prime}\mid\vec{p}^{\prime}\rangle\langle\vec{p}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

= \int D \vec{P} D {\vec{P}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{P} ⟩ ⟨ \vec{P} ∣ A ∣ {\vec{P}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{P}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} =\int\; d\vec{p}\; d\vec{p}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid A\mid\vec{p}^{\prime}\rangle\langle\vec{p}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

Lachy · Answer 3

Ich denke, die Hauptsache, die Ihnen hier Probleme bereitet, ist das, was Sie unter der Fourier-Transformation verstehen. Wenn Sie sagen: "Aber ist eine Fourier-Transformation nicht einfach eine Zerlegung einer Funktion in eine Summe oder ein Integral anderer Funktionen?" Ich denke, Sie verwechseln die 'Fourier-Transformation' und die 'Fourier-Reihe'. Fourier war ein ziemlich produktiver Typ, und wie es immer der Fall ist, kann es verwirrend sein, viele Dinge nach derselben Person zu benennen. In jedem Fall haben Sie jetzt Ihre Antwort. Wenn Sie mit den obigen Antworten (die beide richtig sind) nicht herausfinden können, wie Sie eine Fourier-Transformation berechnen, suchen Sie online nach einigen Beispielen. Es ist ein unglaublich mächtiges Tool :)

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Lubos Motl

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Der Versuch, zunächst Positions- und Impulsgrundlagen in der Quantenmechanik zu verstehen

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