Wurde die Unschärferelation durch die Fourier-Analyse abgeleitet?

Der Weg zur Unschärferelation verlief ungefähr so:

In Heisenbergs brillanter Arbeit von 1925 [1] spricht er das Problem der Linienspektren an, die durch atomare Übergänge verursacht werden. Beginnend mit dem Bekannten

$$\omega(n, n-\alpha) = \frac{1}{\hbar}\{W(n)-W(n-\alpha) \}$$ wo $\omega$sind die Kreisfrequenzen, $W$sind die Energien und $n, \alpha$ganzzahlige Bezeichnungen sind, sagt er im Grunde "versuchen wir, eine Theorie zu konstruieren, die es vermeidet, die Elektronenposition zu erwähnen $x(t)$ weil wir es nie beobachten können ".

In einem periodischen System (das die Elektronenbahnen sind) kann diese nicht beobachtbare Größe für den Fall, dass sich das Elektron in dem mit n bezeichneten Zustand befindet, Fourier-entwickelt werden

$$x(n,t)=\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}X_{\alpha}(n)exp[i\omega(n)\alpha t]$$ Die Fourier-Koeffizienten sind durch zwei ganze Zahlen gekennzeichnet $\alpha$und $n$, und Heisenberg schreibt diese Koeffizienten um als $X(n,n-\alpha)$(Eigentlich verwendet er die Notation $\mathcal{U}$, aber $X$ist einfacher, sich auf das zu beziehen, was es tatsächlich ist!). Dies ist eine Größe mit zwei ganzzahligen Labels, dh eine Matrix . Wir sehen, dass die Fourier-Analyse eng mit Heisenbergs Denken verbunden war .

In moderner Terminologie$X(n, n-\alpha)$ist nur das Matrixelement$\langle n-\alpha |\hat{X}|n \rangle$des Positionsoperators$\hat{X}$für die Energieeigenzustände$|n \rangle$,$|n-\alpha \rangle$

Durch Anwendung der Matrixdarstellung von Heisenberg auf die Position$X$und Schwung$P$Operatoren konnten Born und Jordan [2] die Vertauschungsrelation herleiten

$$PX - XP = -i\hbar$$ Heisenberg[3], erkennt, dass dies eine Aufspaltung des Phasenraums in Dimensionszellen ist $h$und leitet daraus eine approximative Unschärferelation ab.

Um also auf die Frage zurückzukommen: Nein, Heisenberg ist nicht explizit auf die Unschärferelation durch Betrachtung der Fourier-Analyse von Wellenpaketen gekommen , sondern als Folge der Kommutierungsbeziehungen, die sich als Folge der von ihm entdeckten Matrizenmechanik ergaben . Aber ja, die Fourier-Analyse war entscheidend für seine Argumentation.

Bearbeiten: Dies ist eine sehr nützliche Referenz für Heisenbergs ursprüngliches Denken zur Matrixmechanik.

[1]: Heisenberg "Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen" Z. Phys 33 879-893 (1925)

[2]: Born Jordan Zur Quantenmechanik Z. Phys 34 858-888 (1925)

[3]: Heisenbergg Über den anschaulichten Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik Z. Phys 43 3-4 172-198 (1927)

Heisenberg erinnert sich hier an die Entdeckung :

man kann sagen, nun, diese Umlaufbahn ist wirklich keine vollständige Umlaufbahn. Tatsächlich hat das Elektron in jedem Moment nur eine ungenaue Position und eine ungenaue Geschwindigkeit, und zwischen diesen beiden Ungenauigkeiten besteht diese Unschärferelation.

Grund war ein Gespräch mit Einstein über die Umlaufbahnen von Elektronen. Eine Fourier-Transformation wird nicht erwähnt (es ist jedoch ziemlich sicher, dass Heisenberg mit ihrem Konzept ziemlich vertraut war).