Kann eine physikalische Wellenfunktion nicht glatt oder sogar diskontinuierlich sein?

Question

Kann eine physikalische Wellenfunktion nicht glatt oder sogar diskontinuierlich sein?

Physik
Wellenfunktion
Fourier-Transformation
Quantenmechanik

Matrix23

Hier ist ein Argument, das die Aussage stützen könnte, dass eine solche nicht glatte Wellenfunktion nicht physikalisch ist:

Sie können nicht eine endliche Anzahl glatter Funktionen hinzufügen, um eine nicht glatte Funktion zu erhalten. Durch den Fourier-Entwicklungssatz kann jede Funktion als Summe ebener Wellen (die in Bezug auf räumliche Dimensionen glatt sind) ausgedrückt werden. Daher müssen Sie unendlich viele glatte Funktionen benötigen, um eine nicht glatte Funktion zu erhalten. Jetzt ist hier das Problem. Die verschiedenen ebenen Wellen sind Impuls-Eigenfunktionen und die nicht glatte Funktion ist eine Überlagerung dieser Impuls-Eigenfunktionen. Wenn Sie nun versuchen, den Erwartungswert des Impulses zu berechnen, könnte aufgrund der Tatsache, dass die zu den Impuls-Eigenfunktionen gehörenden Impuls-Eigenwerte nach oben unbeschränkt sind, der Erwartungswert des Impulses explodieren (ins Unendliche gehen). Dies ist genau das, was die Wellenfunktion nicht-physikalisch machen würde.

ψ (X) = \int \tilde{ψ} (k) e^{ich k X} D k

$\psi(x) = \int \widetilde{\psi}(k) e^{ikx} \mathrm{dk}$

E (k) = \int | \tilde{ψ} (k) |^{2} k D k

$E(k) = \int |\widetilde{\psi}(k)|^2 k \ \mathrm{dk}$

Aber woher weiß ich für eine allgemeine glatte Funktion, ob die Fourier-Koeffizienten, die mit immer größeren Eigenmoden des Impulses verbunden sind, schnell genug abfallen, damit der erwartete Wert des Impulses konvergiert?

Knzhou

Verwandte Frage hier ?

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/19667/2451 , physical.stackexchange.com/q/149001/2451 und Links darin.

Antworten (3)

Kann eine physikalische Wellenfunktion nicht glatt oder sogar diskontinuierlich sein?

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/19667/2451 , physical.stackexchange.com/q/149001/2451 und Links darin.

yuggib · Answer 1

Es gibt keine physikalische Voraussetzung dafür, dass eine Wellenfunktion glatt oder sogar kontinuierlich ist. Zumindest wenn wir die gängige Interpretation akzeptieren, dass eine Wellenfunktion nichts anderes als eine "Wahrscheinlichkeitsamplitude" ist. Dh es repräsentiert, wenn es mit seinem komplex Konjugierten multipliziert wird, eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Nun kann eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf Mengen von Lebesgue-Maß Null diskontinuierlich oder sogar undefiniert sein. Tatsächlich die kontinuierliche und glatte Wellenfunktion

C (X) = e^{- X^{2}}

$c(x)=e^{-x^2}$ und die diskontinuierliche Wellenfunktion

D (X) = {\begin{aligned} e^{- X^{2}} & X \neq 0 \\ 5 & X = 0 \end{aligned}

$\begin{equation}d(x)=\left\{\begin{aligned}&e^{-x^2}&x\neq 0\\&5&x=0 \end{aligned}\right.\end{equation}$ dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung geben . Mit anderen Worten, für die Zwecke der Quantenmechanik sind sie vollkommen ununterscheidbar und gehören tatsächlich zur gleichen Äquivalenzklasse von

L^{2} (R^{d})

$L^2(\mathbb{R}^d)$ Funktionen. Mit anderen Worten, der Hilbert-Raumvektor

ψ

$\psi$ An

L^{2} (R^{d})

$L^2(\mathbb{R}^d)$ definiert von

c (x)

$c(x)$ Und

d (x)

$d(x)$ gleich ist und daher dem gleichen Quantenzustand entspricht.

Schon aus dem oben genannten Grund ist Stetigkeit meiner Meinung nach bedeutungslos, wenn es um Wellenfunktionen geht. Natürlich ist es immer möglich (und bequem), beispielsweise Funktionen mit schnellem Abfall einzubetten $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ In $L^2(\mathbb{R}^d)$ , dh in Anbetracht eines Notationsmissbrauchs, $f\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)\subset L^2(\mathbb{R}^d)$ ; Wir betrachten jedoch implizit die Äquivalenzklasse fast überall gleicher Funktionen $[f]\in L^2(\mathbb{R}^d)$ zu welchem $f$ gehört, anstelle von $f$ selbst. Nehmen wir nun an, wir ändern die Behauptung von OP wie folgt:

Es ist unphysikalisch, Wellenfunktionen zu betrachten, die nicht dazugehören $\mathscr{C}^1_{L^2}(\mathbb{R}^d)=\Bigl\{[f]\in L^2(\mathbb{R}^d), f\in C^1(\mathbb{R}^d)\text{ with }\int_{\mathbb{R}^d}\lvert f(x)\rvert^2 dx<\infty \Bigr\}$ .

Nun ist dies aus mathematischer Sicht eine besser definierte Behauptung, und es bedeutet, dass wir nur solche Wellenfunktionen als physikalisch sinnvoll betrachten, dass es einen stetigen und differenzierbaren Repräsentanten in seiner Äquivalenzklasse gibt. Aber auch diese Voraussetzung ist nicht körperlicher Natur . Tatsächlich gibt es Potenziale $V(x)$ so dass der Hamiltonian $H=-\Delta/2m +V(x)$ ist selbstadjungiert, und

e^{- ich H T} [C_{L^{2}}^{1} (R^{D})] ⊈ C_{L^{2}}^{1} (R^{D}) .

$e^{-iHt}\Bigl[\mathscr{C}^1_{L^2}(\mathbb{R}^d)\Bigr]\nsubseteq \mathscr{C}^1_{L^2}(\mathbb{R}^d)\; .$ Mit anderen Worten, es gibt Quantenentwicklungen, bei denen einige "glatte" (im obigen Sinne) Wellenfunktionen im Laufe der Zeit nicht glatt werden. Ein relevantes konkretes Beispiel wäre das Coulomb-Potential

V (x) = \pm \frac{1}{| x |}

$V(x)=\pm \frac{1}{\lvert x\rvert}$ .

udrv · Answer 2

Aus Yuggibs Antwort: „…wir betrachten physikalisch nur solche Wellenfunktionen als sinnvoll, dass es einen stetigen und differenzierbaren Repräsentanten in seiner Äquivalenzklasse gibt. Aber auch diese Forderung ist nicht physikalisch.“

Nicht ganz. Eine Reihe zählbarer punktweiser Diskontinuitäten mag zumindest auf den ersten Blick tolerierbar sein, aber es gibt tatsächlich einen sehr guten physikalischen Grund, warum Wellenfunktionen im Allgemeinen stetig und differenzierbar sein müssen, selbst unter typischen Annahmen über das asymptotische Verhalten: die durchschnittliche Energie, insbesondere die kinetische Energie, kann unendlich oder undefiniert werden. Ein sehr einfaches Gegenbeispiel zeigt, warum.

Stellen Sie sich eine (nicht relativistische) 1D-Wellenfunktion vor, die vollständig auf die positive Halbachse beschränkt ist, beispielsweise mit einer scharfen Wellenfront am Ursprung

Ψ (X) = θ (X) ψ (X), ψ (0) \neq 0

$\Psi(x) = \theta(x) \psi(x), \;\;\; \psi(0) \neq 0$ Wo

θ (X) = {\begin{matrix} 1, für X \geq 0 \\ 0, für X < 0 \end{matrix}

$\theta(x) = \left\{\begin{array}{c}1, \; \text{for}\;x\ge 0 \\0,\;\text{for}\;x<0\end{array}\right.$ ist die Heaviside-Schrittfunktion und

ψ

$\psi$ ist quadratisch integrierbar, mit Standardverhalten für

x \to \infty

$x\rightarrow \infty$ (siehe die verwandte Frage, auf die knzhou hinweist). Die Diskontinuität stellt für die Normalisierung kein Problem dar, da wir immer fordern können

\int_{- \infty}^{\infty} D X Ψ^{*} Ψ \equiv \int_{- \infty}^{\infty} D X θ (X) ψ^{*} ψ = 1,

$\int_{-\infty}^\infty{dx\; \Psi^*\Psi} \equiv \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x) \psi^*\psi} = 1,$ es stört auch nicht viel mit der durchschnittlichen Position oder dem Impuls, die sich im Allgemeinen als endlich erweisen, solange

ψ

$\psi$ verhält sich vernünftig im Unendlichen:

⟨ Ψ | \hat{X} | Ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} D X θ (X) X | ψ |^{2} < \infty

$\langle \Psi | {\hat x}|\Psi\rangle = \int_{-\infty}^\infty{dx\;\theta(x) x|\psi|^2} < \infty$ Und

⟨ Ψ | \hat{P} | Ψ ⟩ = - ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} D X θ (X) ψ^{*} \frac{D}{D X} (θ (X) ψ) = - ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} D X (θ (X) ψ^{*} \frac{D ψ}{D X} + \frac{1}{2} ψ^{*} ψ \frac{D θ}{D X}) = = - \frac{ich ℏ}{2} \int_{- \infty}^{\infty} D X θ (X) (ψ^{*} \frac{D ψ}{D X} - \frac{D ψ^{*}}{D X} ψ) = \int_{0}^{\infty} D X θ (X) J (X) < \infty

$\langle \Psi | {\hat p}|\Psi\rangle = -i\hbar \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x) \psi^* \frac{d}{dx}\left( \theta(x) \psi \right)} = -i\hbar \int_{-\infty}^\infty{dx\; \left(\theta(x) \psi^* \frac{d \psi}{dx} +\frac{1}{2} \psi^*\psi \frac{d\theta}{dx}\right)} = \\ = -\frac{i\hbar}{2} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x)\left( \psi^* \frac{d \psi}{dx} - \frac{d \psi^*}{dx}\psi \right)} = \int_0^\infty{dx\; \theta(x){\mathcal J}(x)} < \infty$ Beachte das im letzten Integral oben

J (x) = - \frac{i ℏ}{2} (ψ^{*} \frac{d ψ}{d x} - \frac{d ψ^{*}}{d x} ψ)

${\mathcal J}(x) = -\frac{i\hbar}{2}\left( \psi^* \frac{d \psi}{dx} - \frac{d \psi^*}{dx}\psi \right)$ wurde als lokaler Wahrscheinlichkeitsfluss identifiziert, was eine schöne physikalische Interpretation vermittelt.

Aber unabhängig von jeglichem asymptotischen Verhalten liegen die Dinge für die durchschnittliche kinetische Energie ganz anders, da

⟨ Ψ | \frac{{\hat{P}}^{2}}{2 M} | Ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} D X Ψ^{*} (X) (- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D X^{2}}) Ψ (X) = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \int_{- \infty}^{\infty} D X θ (X) ψ^{*} (X) \frac{D^{2}}{D X^{2}} (θ (X) ψ (X)) =

$\langle \Psi | \frac{{\hat p}^2}{2m}|\Psi\rangle = \int_{-\infty}^\infty{dx\; \Psi^*(x) \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\right) \Psi(x)} = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x) \psi^*(x) \frac{d^2}{dx^2}\left( \theta(x) \psi(x) \right)} =$

\frac{ℏ^{2}}{2 M} \int_{- \infty}^{\infty} D X \frac{D}{D X} [θ (X) ψ^{*} (X)] \frac{D}{D X} [θ (X) ψ (X)] = \frac{ℏ^{2}}{2 M} \int_{- \infty}^{\infty} D X ψ^{*} ψ {(\frac{D θ}{D X})}^{2} + endliche Bedingungen = \frac{ℏ^{2}}{2 M} | ψ (0) |^{2} δ (0) + endliche Bedingungen

$\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \frac{d}{dx}\left[ \theta(x) \psi^*(x) \right] \frac{d}{dx}\left[ \theta(x) \psi(x) \right]} = \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \psi^*\psi \left( \frac{d\theta}{dx}\right)^2} + \text{finite terms} = \frac{\hbar^2}{2m} |\psi(0)|^2\delta(0) + \text{finite terms}$ Also eine scharfe Wellenfront-Diskontinuität, mit

ψ (0) \neq 0

$\psi(0) \neq 0$ , bedeutet automatisch eine unbequeme Unendlichkeit der kinetischen Energie und bedeutet im Allgemeinen schlechte Nachrichten für alle Observablen, die Ableitungen 2. oder höherer Ordnung beinhalten.

Um die Frage zu beantworten: Der durchschnittliche Impuls explodiert nicht unbedingt bei Vorhandensein von Diskontinuitäten, aber die kinetische Energie und alle Durchschnitte mit höheren Ableitungen stellen ein Problem dar. Das asymptotische Verhalten der Wellenfunktion im Impulsraum muss so sein, dass relevante Observablen mit Ortsableitungen endliche Mittelwerte haben. Dies impliziert wiederum, dass Diskontinuitäten der hier diskutierten Art geglättet werden müssen.

Aber das ist nur ein spezielles Beispiel für eine Funktion, die sich schlecht verhält! Es gibt viele nicht differenzierbare oder sogar unstetige Funktionen, für die die (Erwartung der) kinetischen Energie endlich ist . Nehmen Sie als Beispiel Ihren Favoriten $H^1(\mathbb{R}^d)$ Funktion, die nicht drin ist $\mathscr{C}^{1}_{L^2}(\mathbb{R}^d)$ (um meine Notation oben zu verwenden). Hier $H^1$ ist der inhomogene Sobolev-Raum mit einer Ableitung. Wenn Sie sagen, dass es wünschenswert ist, dass physikalische Wellenfunktionen eine endliche durchschnittliche kinetische Energie haben, dann stimme ich zu, aber das hat nicht viel mit Kontinuität / Differenzierbarkeit zu tun.
Nur der Vollständigkeit halber gilt, dass z $d=3$ , die Wellenfunktionen im Bereich des kinetischen Energieoperators $-\Delta$ (also die Wellenfunktionen in $H^2(\mathbb{R}^3)$ ) haben nach dem Einbettungssatz von Sobolev automatisch einen stetigen Repräsentanten (aber im Allgemeinen nicht differenzierbar). Dies ist jedoch gleichbedeutend mit der Forderung, dass auch der Mittelwert des Quadrats der kinetischen Energie endlich ist.
In Bezug auf Diskontinuitätsklassen ist mein Beispiel nicht spezieller als das von Ihnen verwendete, abzählbare Anzahl von (entfernbaren) Diskontinuitäten. Aber ich denke, Ihnen fehlt etwas in der Definition eines Sobolev-Raums, siehe zum Beispiel Seite 4 in math.uci.edu/~chenlong/226/Ch1Space.pdf . Die Funktionen im $H^2({\mathbb ℝ}^3)$ haben stetige Ableitungen (im Sinne von Sobolev, wenn Sie mathematisch genau sein möchten) beliebiger Ordnung $\alpha \le 2$ . Ich denke also, was Sie sagen, bekräftigt letztendlich, was ich sage.
Ich vermisse nichts in der Definition von Sobolev-Räumen ;-) Diese Räume enthalten $L^2$ Verteilungen, die Ableitungen "im Verteilungssinn" zulassen (im gleichen Sinne, wie Sie die Ableitung von nehmen können $\delta$ Verteilung). Daher sind nicht alle diese Funktionen differenzierbar oder stetig. Nur wenn der Index $s$ In $H^s$ ausreichend hoch ist (je nach Raumdimension) hat man Einbettung in stetige oder differenzierbare Funktionen.
Mein Punkt war jedoch der folgende. Sie sagen im Wesentlichen: „Die Bedingung $X$ ist relevant, weil eine hinreichende Bedingung zu haben ist $Y$ "; Ich sage, dass es nicht notwendig ist, also ist die wichtige Bedingung tatsächlich noch gerecht $Y$ , und nicht $X$ . Hier $X$ hat eine glatte Wellenfunktion, $Y$ mit endlicher durchschnittlicher kinetischer Energie.
Entschuldigung, Sie vermissen etwas, weshalb Sie die Bedingung, von der ich spreche, nur als ausreichend empfinden, obwohl sie eigentlich notwendig ist. Die Tatsache, dass die Elemente eines Sobolev-Raums im Wesentlichen Verteilungen sind, ändert nichts an der Forderung, dass alle $f \in H^2({\mathbb R}^3)$ müssen schwache Ableitungen haben $D^\alpha f \in L^2({\mathbb R}^3)$ für alle $\alpha \le 2$ .
Eine Funktion $f \in L^2({\mathbb R}^3)$ hat immer schwache Ableitungen $D^\alpha f$ im Sinne von Ausschüttungen, was aber nicht impliziert $D^\alpha f \in L^2({\mathbb R}^3)$ Notwendig. $H^2({\mathbb R}^3)$ hebt die Funktion(en) hervor, für die dies gilt. Aber während $H^2({\mathbb R}^3) \subset L^2({\mathbb R}^3)$ , $H^2({\mathbb R}^3) \bigcap L^2({\mathbb R}^3) \neq L^2({\mathbb R}^3)$ .
Eine (äquivalente Klasse von) Funktion(en) mit quadratisch integrierbaren Verteilungsableitungen ist nicht notwendigerweise stetig oder differenzierbar . Sie hat einfach quadratisch integrierbare Ableitungen im Sinne von Verteilungen. Ihnen fehlt etwas. Wie ich mehrfach sagte, nur wenn Sie die Einbettung haben $H^s(\mathbb{R}^d)\subset C^{n}(\mathbb{R}^d)$ für einige $n\in\mathbb{N}$ Sie sind sicher, dass Sobolev-Funktionen tatsächlich bis zur Ordnung stetig differenzierbar sind $n$ .
Andernfalls ist dies im Allgemeinen nicht der Fall, z. B. gibt es $f\in H^{1}(\mathbb{R}^3)$ die weder stetig noch differenzierbar sind . In $d=3$ , Jedoch, $H^2(\mathbb{R}^3)$ Funktionen sind stetig ( $C^0$ ), aber im Allgemeinen nicht immer differenzierbar. Seit $H^1$ jedoch ausreicht, endliche mittlere kinetische Energie zu haben, gibt es Wellenfunktionen mit endlicher mittlerer kinetischer Energie, die sogar nicht stetig sind.
Bitte zeigen Sie mir eine Wellenfunktion, die weder stetig noch differenzierbar ist, aber in keiner beobachtbaren Ableitung und in keinem ihrer höheren Momente Unendlichkeiten erzeugt .
Das ist gar nicht so schwer: $\psi=c\lvert x\rvert^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ würde den Trick machen $d=3$ (Wo $c^2=\int_{\mathbb{R}^3} \lvert x\rvert^{-\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx$ ). $\psi\in H^1(\mathbb{R}^3)$ (es hat also eine endliche durchschnittliche kinetische Energie), aber es ist weder kontinuierlich noch in Null differenzierbar. Darüber hinaus ist dies nicht nur eine Diskontinuität, die entfernt werden kann, indem ein Satz von Punkten mit Maß Null geändert wird, sondern eine "echte" Diskontinuität. Natürlich, wie erwartet, $\psi\notin H^2(\mathbb{R}^3)$ , da alle $H^2$ Funktionen sind stetig und $\psi$ ist nicht. Also zusammenfassend:
$\lVert\psi\rVert_2=1$ , $\langle\psi, -\Delta\psi\rangle_2<+\infty$ Und $\langle\psi, (-\Delta)^2\psi\rangle_2=+\infty$ . ;-)
Err, „ erzeugt keine Unendlichkeiten in irgendeiner Beobachtungsgröße, die Ableitungen beinhaltet , und in keinem ihrer höheren Momente“? Ich meinte definitiv nicht, dass es erlaubt ist , unendlich höhere Momente zu erzeugen.
Sehen Sie, Sie können sagen, was Sie wollen, aber die Dinge ändern sich nicht. Es gibt diskontinuierliche Wellenfunktionen mit endlicher durchschnittlicher kinetischer Energie (ich habe Ihnen eine Erklärung und ein explizites Beispiel gegeben); aber natürlich keine nicht glatte Wellenfunktion mit endlichem Mittelwert für Differentialoperatoren beliebiger Ordnung. Die letzte Anforderung ist jedoch eher unphysikalisch (welche physikalisch relevante Größe enthält den Impuls zu einer Potenz höher als zwei?) Und nicht das, was Sie in Ihrer Antwort behauptet haben .
Für mich in Ordnung. Ich habe gerade erfahren, dass Sie Mathematiker sind, und festgestellt, dass ich wahrscheinlich herablassend rüberkomme. Entschuldigung, war keine Absicht. Und ich verstehe Ihre Position zu Diskontinuitäten, denke aber dennoch, dass es notwendig ist, sich ihrer Grenzen bewusst zu sein. Zumal Propagatoren, Resolventen usw. alle auf die eine oder andere Weise höhere Momente von Observablen beinhalten.
Kein Problem; und ich verstehe auch Ihren Standpunkt ;-) Mathematisch gesehen gibt es kein Problem mit Resolvents, Propagators und im Allgemeinen jedem beschränkten Operator, wenn auf diskontinuierliche Funktionen eingewirkt wird. Meine Meinung ist, dass es hauptsächlich eine Frage der Bequemlichkeit ist, Wellenfunktionen glatt zu machen. Ihre Diskussion ist aber durchaus interessant, zeigt sie doch, dass man im Umgang mit Wellenfunktionen und Impulsoperatoren vorsichtig sein muss.

Abhishek Pal · Answer 3

Abhishek Pal

Diskontinuität in der ersten Ableitung der Wellenfunktion impliziert, dass die Wellenfunktion eine plötzliche Kraft erfährt, die ihren Impuls sofort ändert. Physikalisch gesehen ist dies also nicht möglich, da es keine Dirac-Delta-Potentiale gibt. Es gibt Potentiale sehr nahe an Dirac-Delta und daher wird die Wellenfunktion in der Dirac-Delta-Näherung eine Diskontinuität der ersten Ableitung haben.

Matrix23

"Die Diskontinuität in der ersten Ableitung der Wellenfunktion impliziert, dass die Wellenfunktion eine plötzliche Kraft erfährt, die ihren Impuls sofort ändert." Kannst du bitte Erklären. Verwenden Sie hier die klassische Intuition?

Abhishek Pal

Ich verwende nur die Interpretation des Impulsoperators, der proportional zur ersten Ableitung der Wellenfunktion in der Ortsbasis ist.

Matrix23

Ich erinnere mich, dass die Wellenfunktion nicht glatt ist, wenn das Potential einen diskontinuierlichen unendlichen Sprung hat, wie das Dirac-Delta und der unendliche Brunnen, die beide nicht physikalisch sind. Wenn Sie jedoch mit dem Impulsoperator auf eine Wellenfunktion einwirken, erhalten Sie eine andere Wellenfunktion. Die Bedeutung dieses Operators zeigt sich, wenn Sie versuchen, den Erwartungswert des Momentums zu berechnen.

Matrix23

Genauer gesagt, wenn Sie sagen, dass die Wellenfunktion ihren Impuls "sofortig" ändert, unterstellen Sie, dass sich der erwartete Wert des Impulses augenblicklich mit der Zeit ändert. Aber das ist nicht wahr, denn da die Wellenfunktion über einen unendlichen Bereich definiert ist, ist sie immer in "Kontakt" mit dem Potential. Übrigens bin ich gerade in der Bibliothek im Neubau Physik am IISc.

ACuriousMind

Siehe Yuggibs Antwort, warum dies nicht wahr ist.

Kann eine physikalische Wellenfunktion nicht glatt oder sogar diskontinuierlich sein?

Matrix23

Knzhou

QMechaniker

Antworten (3)

yuggib

udrv

yuggib

yuggib

udrv

yuggib

yuggib

udrv

udrv

yuggib

yuggib

udrv

yuggib

yuggib

udrv

yuggib

udrv

yuggib

Abhishek Pal

Matrix23

Abhishek Pal

Matrix23

Matrix23

ACuriousMind

Der Versuch, zunächst Positions- und Impulsgrundlagen in der Quantenmechanik zu verstehen

Fourier-Transformation einer reellen Anfangswellenfunktion

Wurde die Unschärferelation durch die Fourier-Analyse abgeleitet?

Wellenpaketausdruck und Fourier-Transformationen

Welche Beziehung besteht zwischen Orts- und Impulswellenfunktionen in der Quantenphysik?

Rekonstruktion von "Wellenfunktions"-Phasen aus |ψ(x)||ψ(x)||\psi(x)| und |ψ~(p)||ψ~(p)||\tilde \psi(p)|

Finden von ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) für ein freies Teilchen ausgehend von einem Gaußschen Wellenprofil ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Wirkung des Impulsoperators auf die Wellenfunktion im Impulsraum

Schrödinger-Gleichung im Impulsraum aus Dirac-Notation

Worüber macht die Heisenbergsche Unschärferelation Aussagen?