Die Natur komplexer Zahlen in QM tauchte kürzlich in einer Diskussion auf, und ich wurde als dummer Hacker bezeichnet, weil ich ihre Relevanz in Frage stellte. Hauptsächlich aus therapeutischen Gründen habe ich meine Meinung zu diesem Thema niedergeschrieben:

Zur Rolle komplexer Zahlen in der Quantenmechanik

Motivation

Es wurde behauptet, dass eines der bestimmenden Merkmale, das die Quantenwelt von der klassischen unterscheidet, die Verwendung komplexer Zahlen ist. Es ist ein Dogma, und es ist etwas Wahres daran, aber es ist nicht die ganze Geschichte:

Während komplexe Zahlen zwangsläufig als erstklassige Bürger der Quantenwelt auftauchen, behaupte ich, dass unser alter Freund, die reellen Zahlen, nicht unterschätzt werden sollten.

Die Quantenmechanik aus der Vogelperspektive

In der algebraischen Formulierung haben wir eine Menge von Observablen eines Quantensystems, das die Struktur eines reellen Vektorraums hat. Die Zustände unseres Systems können als normalisierte positive (also notwendigerweise reelle) lineare Funktionale auf diesem Raum realisiert werden.

In der Wellenfunktionsformulierung ist die Schrödinger-Gleichung offensichtlich komplex und wirkt auf komplexwertige Funktionen. Es ist jedoch in Form von gewöhnlichen partiellen Ableitungen reeller Variablen geschrieben und trennt sich in zwei gekoppelte reelle Gleichungen - die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsamplitude und eine Gleichung vom Hamilton-Jacobi-Typ für den Phasenwinkel.

Das offensichtlich reale Modell von Quantensystemen mit zwei Zuständen ist bekannt.

Komplexe und reelle algebraische Formulierung

Schauen wir uns an, wie wir in der algebraischen Formulierung zu komplexen Zahlen kommen:

Wir komplexisieren den Raum der Observablen und machen ihn zu a$C^*$-Algebra. Wir fahren dann fort und stellen es durch lineare Operatoren auf einem komplexen Hilbert-Raum dar (GNS-Konstruktion).

Reine Zustände enden als komplexe Strahlen, gemischte als Dichteoperatoren.

Dies ist jedoch nicht der einzige Weg, dies zu tun:

Wir können den Realraum real sein lassen und ihn mit der Struktur einer Lie-Jordan-Algebra ausstatten. Wir fahren dann fort und stellen es durch lineare Operatoren auf einem echten Hilbert-Raum dar (Hilbert-Schmidt-Konstruktion).

Sowohl reine als auch gemischte Zustände werden als echte Strahlen enden. Während die reinen notwendigerweise einzigartig sind, sind es die gemischten im Allgemeinen nicht.

Der Grund für Komplexität

Selbst in offensichtlich realen Formulierungen ist die komplexe Struktur immer noch vorhanden, aber in Verkleidung:

Es gibt eine 2-aus-3-Eigenschaft, die die Einheitsgruppe verbindet$U(n)$mit der orthogonalen Gruppe$O(2n)$, die symplektische Gruppe$Sp(2n,\mathbb R)$und die komplexe allgemeine lineare Gruppe$GL(n,\mathbb C)$: Wenn zwei der letzten drei vorhanden und kompatibel sind, erhalten Sie den dritten kostenlos.

Ein Beispiel dafür ist die Lie-Klammer und das Jordan-Produkt: Zusammen mit einer Kompatibilitätsbedingung reichen diese aus, um das Assoziativprodukt von zu rekonstruieren$C^*$-Algebra.

Ein weiteres Beispiel dafür ist die Kähler-Struktur des projektiven komplexen Hilbert-Raums, angenommen als echte Mannigfaltigkeit, was Sie erhalten, wenn Sie die Eichfreiheit aus Ihrer Darstellung reiner Zustände entfernen:

Es kommt mit einem symplektischen Produkt, das die Dynamik über Hamilton-Vektorfelder angibt, und einer Riemann-Metrik, die Ihnen Wahrscheinlichkeiten gibt. Wenn Sie sie kompatibel machen, erhalten Sie eine implizit definierte, fast komplexe Struktur.

Die Quantenmechanik ist einheitlich, wobei die symplektische Struktur für die Dynamik verantwortlich ist, die orthogonale Struktur für Wahrscheinlichkeiten und die komplexe Struktur, die diese beiden verbindet. Es kann sowohl in realen als auch in komplexen Räumen auf einigermaßen natürliche Weise realisiert werden, aber alle Strukturen sind notwendigerweise vorhanden, wenn auch nicht offensichtlich.

Fazit

Ist die Vorliebe für komplexe Räume nur ein historischer Zufall? Nicht wirklich. Die komplexe Formulierung ist eine Vereinfachung, da die Struktur in die Skalare unserer Theorie heruntergedrückt wird, und es liegt eine gewisse Eleganz darin, zwei reale Strukturen zu einer einzigen komplexen zu vereinen.

Andererseits könnte man argumentieren, dass es keinen Sinn macht, Strukturen zu mischen, die für bestimmte Merkmale unserer Theorie (Dynamik und Wahrscheinlichkeiten) verantwortlich sind, oder dass die Einführung von Nicht-Observablen in unsere Algebra ein Designgeruch ist, den wir vorzugsweise nur verwenden sollten innere Operationen.

Während wir wahrscheinlich weiterhin Quantenmechanik im Hinblick auf komplexe Realisierungen betreiben werden, sollte man bedenken, dass die Theorie offensichtlich real gemacht werden kann. Diese Tatsache sollte niemanden wirklich überraschen, der die Vogelperspektive eingenommen hat, anstatt nur durch die Scheuklappen spezifischer Formalismen zu schauen.

Die komplexen Zahlen in der Quantenmechanik sind meist eine Fälschung. Sie können überall durch reelle Zahlen ersetzt werden, aber Sie benötigen zwei Wellenfunktionen, um den Real- und den Imaginärteil zu codieren. Der Grund liegt einfach in den Eigenwerten des Zeitentwicklungsoperators$e^{iHt}$sind komplex, also sind die Real- und Imaginärteile entartete Paare, die sich durch Rotation mischen, und Sie können sie mit i umbenennen.

Der Grund, warum Sie wissen, dass ich falsch bin, ist, dass nicht jede physikalische Symmetrie die komplexe Struktur respektiert. Die Zeitumkehr ändert das Vorzeichen von "i". Die Operation der Zeitumkehr tut dies, weil sie den Sinn umkehrt, in dem die Real- und Imaginärteile der Eigenvektoren ineinander rotieren, aber ohne das Vorzeichen der Energie umzukehren (da ein zeitumgekehrter Zustand die gleiche Energie hat, nicht negativ von der Energie).

Diese Eigenschaft bedeutet, dass das „i“, das Sie in der Quantenmechanik sehen, als Abkürzung für die Matrix (0,1;-1,0) angesehen werden kann, die algebraisch äquivalent ist, und dann können Sie Wellenfunktionen des Real- und Imaginärteils verwenden. Dann ist die Zeitumkehr einfach zu verstehen - es ist eine orthogonale Transformation, die i zu -i bringt, also nicht mit i pendelt.

Die richtige Art zu fragen, „warum i“, ist zu fragen, warum der i-Operator, als Matrix betrachtet, mit allen physikalischen Observablen pendelt. Mit anderen Worten, warum werden in der Quantenmechanik Zustände in ununterscheidbaren Paaren verdoppelt? Der Grund, warum wir es als imaginäre Einheit der c-Zahl verwenden können, ist, dass es diese Eigenschaft hat. Per Konstruktion kommutiere ich mit H, aber die Frage ist, warum es mit allem anderen kommutieren muss.

Eine Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, zwei endlichdimensionale Systeme mit isolierten Hamiltonoperatoren zu betrachten$H_1$und$H_2$, mit einem Wechselwirkungs-Hamiltonoperator$f(t)H_i$. Diese müssen so interagieren, dass, wenn Sie die Interaktion zu irgendeinem Zeitpunkt einfrieren, damit$f(t)$zu einer Konstante ansteigt und dort bleibt, wird das Ergebnis ein sinnvolles Quantensystem mit einer Energie ungleich Null sein. Wenn es irgendwo einen Punkt gibt$H_i(t)$nicht mit dem i-Operator pendelt, gibt es Energiezustände, die nicht zeitlich rotieren können, weil sie keinen Partner derselben Energie haben, in den sie rotieren können. Solche Zustände müssen notwendigerweise energielos sein. Der einzige Nullenergiezustand ist das Vakuum, daher ist dies nicht möglich.

Sie schlussfolgern, dass jede Vermischung durch eine Wechselwirkung zwischen zwei Quantensystemen die i-Struktur respektieren muss. Wenn Sie also zwei Systeme verschränken, um eine Messung an einem durchzuführen, verschränken Sie sich gleichermaßen mit den beiden Zuständen, die zusammen den komplexen Zustand ergeben.

Es ist möglich, die Quantenmechanik (zumindest sicher in einer reinen bosnischen Theorie mit einem echten Hamilton-Operator, dh PT-symmetrisch) so abzuschneiden, dass der Grundzustand (und nur der Grundzustand) genau null Energie hat und nicht hat ein Partner. Für ein bosonisches System ist die Grundzustands-Wellenfunktion reell und positiv, und wenn sie die Energie Null hat, wird sie niemals den imaginären Partner zum Mischen benötigen. Bei der analytischen Fortführung von SUSY-QM-Systemen mit ungebrochenem SUSY kommt es naturgemäß zu einer solchen Verkürzung.

Frank, ich würde vorschlagen, eine Ausgabe von Richard Feynmans QED: The Strange Theory of Light and Matter zu kaufen oder auszuleihen . Oder Sie können einfach direkt zur neuseeländischen Online-Videoversion der Vorträge gehen, aus denen das Buch hervorgegangen ist .

In QED werden Sie sehen, wie Feynman vollständig auf komplexe Zahlen verzichtet und stattdessen die Wellenfunktionen von Photonen (Lichtteilchen) als nichts anderes als uhrenähnliche Zifferblätter beschreibt, die sich drehen, während sie sich durch den Raum bewegen. In einer Fußnote zu einer Buchversion erwähnt er nebenbei: "Ach übrigens, komplexe Zahlen eignen sich wirklich gut , um die Situation von Zifferblättern darzustellen, die sich drehen, während sie sich durch den Raum bewegen", aber er vermeidet absichtlich die genaue Äquivalenz, die stillschweigend oder zumindest ist in vielen Lehrbüchern enthalten. Feynman ist in einem Punkt ziemlich klar: Es ist die Rotation der Phase, wenn man sich durch den Raum bewegt, das grundlegendere physikalische Konzept zur Beschreibung der Quantenmechanik, nicht die komplexen Zahlen selbst.[1]

Ich sollte schnell darauf hinweisen, dass Feynman die bemerkenswerte Nützlichkeit komplexer Zahlen zur Beschreibung physikalischer Phänomene nicht missachtete. Weit davon entfernt! Faszinierend war er zum Beispiel durch die Komplex-Ebenen-Gleichung, die als Eulersche Identität bekannt ist.$e^{i\pi} = -1$(oder gleichwertig,$e^{i\pi} + 1 = 0$) und betrachtete sie als eine der profundesten Gleichungen in der gesamten Mathematik: siehe seinen Band 1, Kapitel 22 von „The Feynman Lectures in Physics“ .

Es ist nur so, dass Feynman in QED die bemerkenswerte konzeptionelle Einfachheit einiger der grundlegendsten Konzepte der modernen Physik betonen wollte. In der QED zum Beispiel zeigt er mit seinen kleinen Ziffernblättern, wie im Prinzip seine gesamte Methode zur Vorhersage des Verhaltens elektrodynamischer Felder und Systeme mit solchen beweglichen Zifferblättern durchgeführt werden könnte.

Das ist natürlich nicht praktikabel, aber darum ging es Feynman nie. Seine Botschaft in der QED war eher so: Halten Sie an der Einfachheit fest, wenn Einfachheit verfügbar ist! Bauen Sie immer die komplizierteren Dinge aus dieser Einfachheit auf, anstatt Einfachheit durch Komplexität zu ersetzen . Auf diese Weise kann diese kleine Stimme eingreifen und sagen, wenn Sie etwas schreckliches und scheinbar Unlösbares sehen: „Ich weiß, dass das einfache Prinzip, das ich gelernt habe, immer noch irgendwo in diesem Schlamassel sein muss! Also muss ich es nur finden und All dieser auffällige Schnee-Blowy-Razzamatazz wird verschwinden!"

[1] Da physische Zifferblätter eine besonders einfache Form der Kreissymmetrie haben, bei der alle Ziffernblattpositionen (Phasen) in allen Eigenschaften absolut identisch sind, könnte man ironischerweise argumentieren, dass solche Zifferblätter eine genauere Möglichkeit bieten, die Quantenphase darzustellen als komplexe Zahlen. Das liegt daran, dass eine Quantenphase in einem realen System, wie bei den Zifferblättern, absolut nichts Einzigartiges zu haben scheint – eine „Zifferblattposition“ ist so gut wie jede andere, solange alle Phasen gleich bleiben Positionen relativ zueinander. Wenn Sie dagegen eine komplexe Zahl verwenden, um eine Quantenphase darzustellen, gibt es eine subtile strukturelle Asymmetrie, die sich zeigt, wenn Sie bestimmte Operationen wie das Quadrieren der Zahl (Phase) ausführen. Wenn Sie also eine komplexe Zahl machen, dann wird zB die Uhrzeitposition durch dargestellt$1$(nennen Sie es 15 Uhr) bleibt bei$1$, während im Gegensatz dazu die Uhrzeitposition durch dargestellt wird$-1$(21 Uhr) wird zu einem$1$(3 Uhr nachmittags). In einer richtig aufgestellten Gleichung ist das keine große Sache, aber diese merkwürdige kleine Asymmetrie ist definitiv kein Teil der physikalisch nachweisbaren Quantenphase. In diesem Sinne fügt die Darstellung einer solchen Phase durch Verwendung einer komplexen Zahl ein kleines bisschen mathematisches "Rauschen" hinzu, das nicht im physikalischen System vorhanden ist.

Wenn Sie komplexe Zahlen nicht mögen, können Sie Paare reeller Zahlen verwenden$(x,y)$. Sie können zwei Paare "hinzufügen".$(x,y)+(z,w) = (x+z,y+w)$, und Sie können zwei Paare mit "multiplizieren".$(x,y) * (z,w) = (xz-yw, xw+yz)$. (Wenn Sie nicht glauben, dass die Multiplikation so funktionieren sollte, können Sie diese Operation stattdessen "shmultiplication" nennen.)

Jetzt können Sie alles in der Quantenmechanik machen. Wellenfunktionen werden durch Vektoren dargestellt, wobei jeder Eintrag ein Paar reeller Zahlen ist. (Oder Sie können sagen, dass Wellenfunktionen durch ein Paar reeller Vektoren dargestellt werden.) Operatoren werden durch Matrizen dargestellt, wobei jeder Eintrag ein Paar reeller Zahlen ist, oder alternativ werden Operatoren durch ein Paar reeller Matrizen dargestellt. ShMultiplikation wird in vielen Formeln verwendet. usw. usw.

Ich bin sicher, Sie sehen, dass dies genau dasselbe ist wie komplexe Zahlen. (siehe Lubos Kommentar: "eine erfundene Maschinerie, die komplexe Zahlen imitiert") Sie sind "komplexe Zahlen für Leute, die philosophische Probleme mit komplexen Zahlen haben". Aber es wäre sinnvoller, diese philosophischen Probleme zu überwinden. :-)

Lass den alten Meister Dirac sprechen:

„Man könnte meinen, man könnte eine komplexe dynamische Variable messen, indem man ihren Real- und ihren reinen Imaginärteil getrennt misst. Aber das würde zwei Messungen oder zwei Beobachtungen erfordern, was in der klassischen Mechanik in Ordnung wäre, aber nicht in der Quantenmechanik, wo zwei Beobachtungen stören sich im Allgemeinen gegenseitig - es ist im Allgemeinen nicht zulässig, anzunehmen, dass zwei Beobachtungen genau gleichzeitig gemacht werden können, und wenn sie kurz hintereinander gemacht werden, wird die erste normalerweise den Zustand des Systems stören und eine Unbestimmtheit einführen, die sich auf das auswirkt zweite." (PAM Dirac, Die Prinzipien der Quantenmechanik, §10, S.35)

Wenn ich Dirac also richtig interpretiere, hilft die Verwendung komplexer Zahlen, zwischen Größen zu unterscheiden, die gleichzeitig gemessen werden können, und solchen, die dies nicht können. Sie würden diese Eigenschaft verlieren, wenn Sie QM rein mit reellen Zahlen formulieren würden.

Komplexe Zahlen "tauchen" in vielen Bereichen auf, wie zB Wechselstromanalyse in der Elektrotechnik und Fourieranalyse reeller Funktionen.

Das komplexe Exponential,$e^{st},\ s = \sigma + i\omega$zeigt sich in Differentialgleichungen, Laplace-Transformationen etc.

Eigentlich sollte es nicht allzu überraschend sein, dass im QM komplexe Zahlen verwendet werden; Sie sind in anderen Bereichen der Physik und Technik allgegenwärtig.

Und ja, die Verwendung komplexer Zahlen macht viele Probleme viel einfacher zu lösen und zu verstehen.

Ich habe dieses Buch (geschrieben von einem EE) besonders genossen , das viele aufschlussreiche Beispiele für die Verwendung komplexer Zahlen gibt, um Probleme stark zu vereinfachen.

Komplexe Zahlen werden nur aus praktischen Gründen verwendet: QM enthält Spiralen und ähnliche Funktionen. Die Euler-Formel

beschreibt dreidimensionale Spiralen auf sehr einfache Weise, aber wenn Sie es verwenden wollen, müssen Sie eine reale Achse durch eine imaginäre Achse ersetzen. Deshalb arbeitet QM generell mit einer imaginären Achse. Aus dem gleichen Grund verwendet man in der Technik komplexe Zahlen: In jedem Fall soll ein helixartiger Vorgang beschrieben werden.

Die Rotationsgruppe, ihre Darstellungen und ihre Trägerräume sind grundlegende Teile der Quantenmechanik. Jedes Objekt im Universum ist entweder ein Spin=0, 1/2, 1, 3/2, 2,… Objekt. Für die Ganzzahl-Spin-Objekte ist die Rotationsgruppe O(3), und die Rotationsmatrizen enthalten nur reelle Zahlen. Es gibt jedoch halbzahlige Spinteilchen auf der Welt, und Matrizen mit komplexen Zahlen darin werden benötigt, um sie zu drehen. Die Gruppe, die alle Rotationen abdeckt, ist SU(2), die eine 2 x 2-Anordnung von Generatoren hat$J$. Die 3 Rotationswinkel müssen in das 2 x 2-Array von Lügengruppenparametern codiert werden$\Theta$. Das Gruppenelement (dh: die Rotationsmatrix) ist dann

Daher werden komplexe Zahlen in der Quantenmechanik benötigt, weil es halbzahlige Spinteilchen gibt.

Ja, wir können eine Theorie derselben Physik ohne komplexe Zahlen haben (ohne Paare reeller Funktionen anstelle komplexer Funktionen zu verwenden), zumindest in einigen der wichtigsten allgemeinen Quantentheorien. Beispielsweise bemerkte Schrödinger (Nature (London) 169, 538 (1952)), dass man eine skalare Wellenfunktion durch eine Eichtransformation real machen kann. Darüber hinaus ist die Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld überraschenderweise im Allgemeinen äquivalent zu einer partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung für nur eine komplexe Komponente, wobei die Komponente auch durch eine Eichtransformation (http://akhmeteli.org/wp-content /uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (ein im Journal of Mathematical Physics veröffentlichter Artikel) oder http://arxiv.org/abs/1008.4828 ).

Ich bin nicht sehr bewandert in der Geschichte, aber ich glaube, dass Leute, die klassische Wellenphysik betreiben, die enge Übereinstimmung zwischen den vielen schon lange bemerkt haben$\sin \theta$s und$\cos \theta$s fliegen um ihre Gleichungen und das Verhalten von$e^{i \theta}$. Tatsächlich können die meisten wellenbezogenen Berechnungen mit weniger Aufwand in der Exponentialform durchgeführt werden.

Dann finden wir in der frühen Geschichte der Quantenmechanik Dinge, die in Begriffen von de Broglies Materiewellen beschrieben werden.

Und es funktioniert, was wirklich das letzte Wort in dieser Angelegenheit ist.

Schließlich kann die gesamte Mathematik mit komplexen Zahlen in zusammengesetzte Operationen mit reellen Zahlen zerlegt werden, sodass Sie die Theorie offensichtlich in diesen Begriffen neu formulieren können. Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass Sie etwas an Leichtigkeit oder Einsicht gewinnen werden.

Es gibt tatsächlich eine natürliche Art, sich Quantenmechanik vorzustellen, ohne komplexe Zahlen zu verwenden. Dies ist eng verwandt mit der Hamiltonian-Jacobi (HJ)-Formulierung der klassischen Mechanik und gibt eine interessante Perspektive auf die Verbindung zwischen klassischer und Quantenmechanik!

Klassische Mechanik

Der HJ-Formalismus ist zeitlich erster Ordnung(!), wobei die Geschwindigkeit durch gegeben ist

Bevor wir dies auf den Quantenfall verallgemeinern, ist es nützlich zu beachten, dass wir die Bewegungsgleichung in Bezug auf die Dichte umschreiben können$\rho(\boldsymbol x,t)$wie

Quantenmechanik --- ohne komplexe Zahlen

Die Behauptung ist, dass die Quantenmechanik durch die gleiche Kontinuitätsgleichung oben (dh die zweite eingerahmte Gleichung) gegeben ist, aber jetzt fügen wir der Gleichung für einfach einen neuen Term hinzu$S$:

Die Verbindung zur Schrödinger-Gleichung? Einfach definieren$\Psi(\boldsymbol x,t) = \sqrt{\rho} e^{i S/\hbar}$und Sie können überprüfen, ob dies der Schrödinger-Gleichung gehorcht. Diese Formulierung der Quantenmechanik ist daher auch ziemlich nützlich, um halbklassische Näherungen zu erzeugen. Falls Sie neugierig sind, was der Spezialfall ist$\rho(\boldsymbol x,t) = \delta(\boldsymbol x - \boldsymbol x(t))$entspricht in diesem Aufbau: sie beschreiben die Pfade der ''verborgenen Variablen'' der de Broglie-Bohm / Pilotwellen-Darstellung der Quantenmechanik.

Explizites Beispiel der Schrödinger-Gleichung "ohne" komplexe Zahlen

Um nur eine vollständig explizite Gleichung des Ein-Teilchen-Falls in Positionsbasis zu geben, die nur mit reellen Zahlen formuliert ist (aber zwei Wellenfunktionen anstelle von einer$\Psi_{real}$und$\Psi_{img}$):

wo$\Psi_{real}$und$\Psi_{img}$sind beide reellwertige Funktionen$\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$und stellen natürlich die separaten Real- und Imaginärteile der eher standardmäßigen äquivalenten Schrödinger-Gleichung dar:

Beachten Sie, dass die Äquivalenz wegen des Potenzials gilt$V$muss reell sein, sonst wird die Wahrscheinlichkeitserhaltung nicht eingehalten .

Ich habe zwar keine supertiefen philosophischen Gründe dafür, warum die imaginäre Zahl erscheint (vielleicht liefert die intuitive "Deduktion" der Gleichung auf hohem Niveau die besten Hinweise?), Die explizite Form der reellen Zahl macht mir die folgende Einsicht klarer :

• die PDE, mit der wir es zu tun haben, ist eigentlich ein System von PDEs mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten Funktionen

• Obwohl die ursprüngliche Gleichung aufgrund der Zeitableitung erster Ordnung wie eine Wärmegleichung aussieht , wissen wir, dass die Schrödinger-Gleichung ein wellenartiges Schwingungsverhalten aufweist, das eher der Wellengleichung ähnelt

  Mit der expliziten Realform wird dies viel glaubwürdiger, weil$\partial \Psi_{img}/\partial t$hängt irgendwie davon ab$\Psi_{real}$, und wiederum$\partial \Psi_{real}/\partial t$hängt irgendwie davon ab$\partial \Psi_{img}$. Durch "Analogie" mit der Reduktion auf ein System erster Ordnung in ODEs sieht dies effektiv wie eine zweite Ableitung aus.

  Wenn wir für einen Moment den Laplace-Teil vergessen und ein konstantes Potential nehmen, haben wir ein superklassisches lineares System erster Ordnung von ODEs, das sin/cos/exp-Lösungen haben kann .

Wenn Sie schließlich versuchen würden, die Gleichung numerisch zu lösen, würden Sie sich wahrscheinlich für die explizite reelle Form entscheiden, da es keine wirklich komplexwertigen Operationen gibt, die durchgeführt werden müssen. In gewissem Sinne können die komplexen Zahlen der Schrödinger-Gleichung problemlos vollständig in zwei getrennte reelle/imaginäre Gleichungen aufgeteilt werden, da es nichts Hardcore wie komplexe Differentiation gibt , mit dem man sich befassen müsste.

Update: Diese Antwort wurde durch meine zweite ersetzt . Ich lasse es erstmal so wie es ist, da es an manchen Stellen konkreter ist. Wenn ein Moderator der Meinung ist, dass es gelöscht werden sollte, können Sie dies gerne tun.

Ich kenne keine einfache Antwort auf Ihre Frage - keine einfache Antwort, die mir bisher begegnet ist, war nicht wirklich überzeugend.

Nehmen Sie die Schrödinger-Gleichung, die die imaginäre Einheit explizit enthält. Wenn Sie die Wellenfunktion jedoch in Polarform schreiben, erhalten Sie ein (weitgehend) äquivalentes System zweier reeller Gleichungen: Die Kontinuitätsgleichung zusammen mit einer anderen, die einer Hamilton-Jacobi-Gleichung bemerkenswert ähnlich sieht.

Dann gibt es noch das Argument, dass der Kommutator zweier Observablen antihermitesch ist. Die Observablen bilden jedoch eine echte Lie-Algebra mit Klammer$-i[\cdot,\cdot]$, die Dirac die Quanten-Poisson-Klammer nennt.

Alle Erwartungswerte sind natürlich real und beliebiger Zustand$\psi$kann durch die reellwertige Funktion charakterisiert werden

Zum Beispiel hat das Qubit eine echte Beschreibung, aber ich weiß nicht, ob dies auf andere Quantensysteme verallgemeinert werden kann.

Früher glaubte ich, dass wir komplexe Hilbert-Räume brauchen, um eine eindeutige Charakterisierung von Operatoren in Ihrer beobachtbaren Algebra durch ihre Erwartungswerte zu erhalten.

Im Speziellen,

Natürlich erlegt man dann die zusätzliche Einschränkung auf, dass Erwartungswerte reell sein sollen, und erhält so selbstadjungierte Operatoren.

Für reelle Vektorräume gilt automatisch letzteres. Wenn Sie jedoch die vorherige Bedingung auferlegen, erhalten Sie auch selbstadjungierte Operatoren; Wenn Ihre Bedingungen reale Erwartungswerte und eine eindeutige Darstellung von Observablen sind, besteht keine Notwendigkeit, komplexe gegenüber realen Räumen zu bevorzugen.

Das überzeugendste Argument, das ich bisher gehört habe, ist, dass die lineare Überlagerung von Quantenzuständen nicht nur vom Quotienten der Absolutwerte der Koeffizienten abhängt$|α|/|β|$, sondern auch ihre Phasendifferenz$\arg(α) - \arg(β)$.

Update: Es gibt ein weiteres geometrisches Argument, auf das ich kürzlich gestoßen bin und das ich einigermaßen überzeugend finde: Die Beschreibung von Quantenzuständen als Vektoren in einem Hilbert-Raum ist überflüssig - wir müssen in den projektiven Raum gehen, um diese Eichfreiheit loszuwerden. Die Real- und Imaginärteile des hermitischen Produkts induzieren eine metrische und eine symplektische Struktur auf dem projektiven Raum – tatsächlich sind projektiv komplexe Hilbert-Räume Kähler-Mannigfaltigkeiten . Während die metrische Struktur für Wahrscheinlichkeiten zuständig ist , liefert die symplektische Struktur über die Hamilton-Gleichungen die Dynamik. Aufgrund der 2-aus-3-Eigenschaft erhalten wir kostenlos eine nahezu komplexe Struktur , wenn wir die Kompatibilität der metrischen und symplektischen Strukturen verlangen .

Nur zur Verdeutlichung, es hört sich so an, als könnten Sie es .

Heute werden komplexe Zahlen immer noch an Universitäten gelehrt und von einigen immer noch befürwortet. Sie verweilen in Physik und Technik, wo es um sinusförmige Wellen oder Bewegungen geht, obwohl es auch hier (fast) immer einen veröffentlichten alternativen Ansatz gibt, der frei von imaginären Zahlen ist.

Ein berühmter Bereich der Physik, in dem komplexe Methoden immer noch einen virtuellen Würgegriff haben, ist die Quantenmechanik. Obwohl Vektoralternativen existieren, werden sie derzeit nicht stark gefördert, und der vorherrschende Ansatz besteht darin, imaginäre Zahlen zu verwenden. Einige behaupten sogar, dass dies unerlässlich ist, aber das kann nicht wahr sein. Hamilton hat vor langer Zeit gezeigt, dass ein algebraisches System mit dem gleichen äußeren Verhalten definiert werden kann, dem es an Referenzen mangelt$𝑖$.