Wie kam Bohr auf die Zahl nℏnℏn\hbar?

Dies ist eine Zusammenfassung des Wikipedia- Artikels zum Bohr-Modell.

Das Bohr-Modell wurde ohne das Wissen oder die Notwendigkeit von De Broglies späteren Arbeiten entwickelt.

1912 war sich Bohr der Probleme mit dem Rutherford-Modell des „Sonnensystems“ bewusst:

Rutherford Models Probleme

1. Die Gesetze der klassischen Mechanik (dh die Larmor-Formel) sagen voraus, dass das Elektron elektromagnetische Strahlung freisetzt, während es einen Kern umkreist.

2. Da das Elektron Energie verlieren würde, würde es sich schnell nach innen drehen und in einer Zeitskala von etwa 16 Pikosekunden in den Kern kollabieren.

3. Dieses Atommodell ist katastrophal, weil es voraussagt, dass alle Atome instabil sind.

4. Wenn sich das Elektron spiralförmig nach innen bewegt, würde die Frequenz der Emission schnell zunehmen, wenn die Umlaufbahn kleiner und schneller wird. Dies würde eine kontinuierliche Frequenzverschmierung elektromagnetischer Strahlung erzeugen.

Der Schlüssel zu Bohrs Einsichten mag darin bestanden haben, dass anstelle eines kontinuierlichen Spektrums Atome mit diskreten Emissionsenergien entdeckt wurden.

Bohr schlug 1913 vor, dass Elektronen nur bestimmte klassische Eigenschaften haben könnten. Bohr untermauerte seine Behauptung, indem er sich auf das Korrespondenzprinzip berief, ohne irgendeine Art von Welleninterpretation zu liefern. 1913 wurde das Wellenverhalten von Materieteilchen wie dem Elektron (dh Materiewellen) nicht vermutet.

Bohr-Modell

Das Bohr-Modell basierte auf Plancks Quantentheorie der Strahlung. Elektronen können nur Energie gewinnen und verlieren, indem sie von einer erlaubten Umlaufbahn in eine andere springen und elektromagnetische Strahlung mit einer bestimmten Frequenz absorbieren oder emittieren $ν$:

$${\displaystyle \Delta {E}=E_{2}-E_{1}=h\nu \ ,}$$

Wo $h$ ist die Plancksche Konstante. Die Frequenz der Strahlung, die bei einer Umlaufperiode emittiert wird $T$ ist wie in der klassischen Mechanik; es ist der Kehrwert der klassischen Umlaufzeit:

$${\displaystyle \nu ={1 \over T}~~.}$$

Die Bedeutung des Bohr-Modells besteht darin, dass wir die Gesetze der klassischen Mechanik auf die Bewegung des Elektrons anwenden könnten, jedoch modifiziert durch eine Quantenregel. Obwohl sein Modell für kleine Umlaufbahnen nicht ganz gut definiert war, weil der Emissionsprozess zwei Umlaufbahnen mit zwei unterschiedlichen Perioden umfasst, konnte Bohr den Energieabstand zwischen den Niveaus bestimmen und zu einer genau richtigen Quantenregel kommen: dem Drehimpuls $L$ ist auf ein ganzzahliges Vielfaches einer festen Einheit beschränkt:

$${\displaystyle L=n{h \over 2\pi }=n\hbar }$$

Wo $n = 1, 2, 3, ...$heißt Hauptquantenzahl und $ħ = h/2π$. n hat einen niedrigsten Wert von 1; Dies ergibt einen kleinstmöglichen Bahnradius von 0,0529 nm, der als Bohr-Radius bekannt ist. Sobald sich ein Elektron in dieser niedrigsten Umlaufbahn befindet, wird es nicht weiter in den Kern "fallen". Ausgehend von der Drehimpuls-Quantenregel konnte Bohr die Energien der erlaubten Umlaufbahnen des Wasserstoffatoms und anderer wasserstoffähnlicher Atome und Ionen berechnen.

Bohrs Bedingung, dass der Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches von ħ ist, wurde später 1924 von de Broglie als Stehwellenbedingung uminterpretiert: Das Elektron wird durch eine Welle beschrieben und eine ganze Anzahl von Wellenlängen muss auf den Umfang der Elektronenbahn passen:

$${\displaystyle n\lambda =2\pi r~.}$$

Ersetzen de Broglies Wellenlänge von $λ = h/p$ reproduziert die Bohrsche Regel.