Symmetrie einer räumlichen Wellenfunktion unabhängig von MLMLM_L?

Die Symmetrie hängt nicht davon ab$M_L$. Der einfachste Weg, dies zu sehen, ist wie folgt. Beginnen mit$\vert L,M_L\rangle$als Produktzustand.

Wenn es ein Produkt von nur zwei Zuständen ist, würde es geschrieben werden als

$$\vert L M_L\rangle = \sum_{m_1m_2}C_{\ell m_1;\ell m_2}^{LM_L} \vert \ell m_1\rangle \vert \ell m_2\rangle \tag{1}$$ Wo $C_{\ell m_1,\ell m_2}^{LM_L}$ein Clebsch-Gordan-Koeffizient ist. Teilchen permutieren $1$Und $2$, was dasselbe ist wie permutieren $m_1$Und $m_2$und du bekommst $$C_{\ell m_2;\ell m_1}^{L M_L}=(-1)^{2\ell-L} C_{\ell m_1;\ell m_2}^{L M_L}$$ zeigt, dass die Phase $(-1)^{2\ell -L}$und damit hängt der Symmetriecharakter nicht davon ab $M_L$.

Wenn Sie mehr als zwei Partikel haben, ist die Arbeit etwas komplizierter. Beginnen mit$\vert L,L\rangle$als Produktzustand, Verallgemeinerung von (1) auf mehr als einen Bestandteil. Die Koeffizienten in den Linearkombinationen sind keine CGs mehr, aber das spielt vorerst keine Rolle.

Vom Staat$\vert L,M_L\rangle$Sie erreichen den Staat$\vert L,M_L-1\rangle$durch Anwendung des Absenkoperators

$$\hat L_-= \sum_i \hat L_{i,-}= \hat L_{1,-}+\hat L_{2,-}+\hat L_{3,-}\ldots$$ Beachten Sie, dass diese Summe unter Permutation der Teilchenzahlen symmetrisch ist, so dass beispielsweise: $$\begin{align} P_{12}\vert L,M_L-1\rangle &= P_{12}{\cal N}_{M_L}\left(\hat L_{1,-}+\hat L_{2,-}+\ldots \right)\vert L,M_L\rangle\, ,\\ &={\cal N}_{M_L}\left(\hat L_{1-}+\hat L_{2-}+\ldots\right)P_{12}\vert L,M_L\rangle \end{align}$$ Wo ${\cal N}_{M_L}$ist eine Normalisierungskonstante. Dies zeigt, dass die Symmetrie unter Permutation von $\vert L,M_L-1\rangle$ist das von $\vert L,M_L\rangle$, und davon unabhängig $M_L$.