Wie können echte ddd-Orbitale aus komplexen Orbitalen berechnet werden?

Ich habe kürzlich den 8.04-Quantenmechanikkurs des MIT zu edX abgeschlossen und habe Python-Code geschrieben, um wasserstoffähnliche Elektronenorbitale zu berechnen, im Grunde nur zum Spaß. Mein Programm berechnet die Eigenzustände basierend auf$n$,$l$, Und$m$und verwendet das mayavi 3D-Grafikpaket, um es zu plotten.

Meine Frage betrifft die Berechnung der$s$,$p$,$d$, Und$f$Orbitale in reellen Basen durch Superposition der (komplexen) Eigenzustände. Ich habe herausgefunden, wie das geht$p_x$Und$p_y$und es funktioniert wie vorgesehen.

$$p_z = p_0 \\ p_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(p_1 + p_{-1} \right) \\ p_y = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( p_1 - p_{-1} \right)$$

Also, wie macht man etwas Analoges zu berechnen$d_{z^2}$,$d_{xz}$,$d_{yz}$,$d_{xy}$, Und$d_{x^2-y^2}$? Wenn ich mir einige Tabellen ansehe und Muster beobachte, vermute ich, dass ich Folgendes tun muss:

$$d_{z^2} = d_0 \\ d_{xz} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(d_1 + d_{-1} \right) \\ d_{yz} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( d_1 - d_{-1} \right)\\ d_{xy} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(d_2 + d_{-2} \right) \\ d_{x^2 - y^2} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( d_2 - d_{-2} \right)$$

und ähnlich für die$f$Orbitale mit$m = \pm 1, 2, 3$.

Danke für jede Klarstellung dazu. Es steht nichts Wichtiges auf dem Spiel, aber ich hoffe zu verstehen, wie das funktioniert.