Warum tragen nicht alle Elektronen zum gesamten Bahndrehimpuls eines Atoms bei?

Wir beschreiben das ganze System mit einem Zustand, dieser Zustand ist eine Kombination der einzelnen Teilchenzustände (Orbitale). Jedes Orbital definieren wir in Bezug auf eine orbitale Impulsschale. Eine volle Schale hat einen Gesamtdrehimpuls von Null, daher haben mehrere volle Schalen immer noch einen Gesamtdrehimpuls von Null. Schließlich hätte eine volle Schale in Kombination mit einigen wenigen Valenzelektronen in höheren Orbitalen den Drehimpuls nur der Valenzelektronen. Jetzt werde ich demonstrieren, warum eine volle Schale einen Drehimpuls von Null haben muss.

Ein Beispiel mit der einfachsten S-Shell.

Wir haben zwei Zustände verfügbar, "oben"$|\uparrow{} \rangle$, und runter"$|\downarrow{} \rangle$. Wir haben auch die Einschränkung, dass dies Fermionen sind, was bedeutet, dass jede Kombination vollständig antisymmetrisch sein muss, wenn zwei Teilchen ausgetauscht werden.

Wenn wir ein einzelnes Elektron in die S-Schale platzieren, stehen uns 2 Zustände zur Verfügung, entweder:

$$|\uparrow{}\rangle \text{ & } |\downarrow{}\rangle$$ Jeder von ihnen hat einen Drehimpuls$\frac{1}{2}$. Wenn wir jedoch ein weiteres Elektron hinzufügen möchten, haben wir nur einen möglichen Zustand, der die Antisymmetrie erfüllt, $$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow{}\downarrow{}\rangle - |\downarrow{}\uparrow{}\rangle\right)$$ Dies ist die Singulett-Konfiguration, bei der der Gesamtdrehimpuls null ist.

Wichtig ist, dass es nur einen Zustand mit Gesamtdrehimpuls gibt$J=0$, zwei Staaten mit$J=\frac{1}{2}$, drei Staaten mit$J=1$(Triplett) und so weiter.

Hier werde ich die Logik des allgemeinen Beweises skizzieren . Erstens ignorieren wir den Spin, jedes einzelne Teilchen orbital$l$hat$2l +1$Zustände mit Drehimpulsprojektionen im Bereich von$-l \leq m_l \leq l$. Zweitens, ohne den Spin zu ignorieren, können Sie 2 Elektronen in jedem Orbital mit Spin nach oben oder unten platzieren. Das gibt$2(2l + 1)$Einzelteilchenzustände. Wenn wir diese Schale vollständig gefüllt haben, bedeutet das, dass wir in jedes einzelne Teilchenorbital ein Elektron platziert haben.

Wenn wir nun all die einzigartigen Möglichkeiten zählen, wie wir alle Orbitale füllen können, gibt es nur einen Weg, dies zu tun. Das bedeutet, dass es sich um eine Singulett-Konfiguration handelt und nicht um ein Mitglied eines höheren Multipletts (wie das oben erwähnte Triplett mit 3 Zuständen).

Der Gesamtzustand ist in Bezug auf einen Gesamtdrehimpuls und eine Gesamtdrehimpulsprojektion definiert. Offensichtlich hat es eine Drehimpulsprojektion von$0$seit$\sum_{m= -l}^{m = l} m = 0$. Da es sich jedoch um einen Singulett-Zustand handelt, hat es auch einen Gesamtdrehimpuls$0$, und wir können es wie einen "Kern" ohne Drehimpuls behandeln.

Als Randnotiz wird dies sowohl in der Atomphysik als auch in der Kernphysik ausgiebig verwendet. Für die Kernphysik würden wir nicht von Elektronen sprechen, sondern von Protonen und Neutronen. Daher haben wir für jedes Orbital nicht nur die Wahl zwischen Spin up oder down, sondern auch zwischen Proton und Neutron. Dies gibt uns 4 Teilchen in jedem Orbital und wird mit der Idee des "Isospins" strenger gemacht. Soweit es die meisten nuklearen Wechselwirkungen interessiert, sind ihre Wechselwirkungen gleich, sodass wir sie als 2 Projektionen eines Objekts, des "Nukleons", behandeln können. Die Gesamtwellenfunktion muss unter Vertauschung im kombinierten Spatial-Spin-Isospin-Raum antisymmetrisch sein. Eine gefüllte Bahnimpulsschale hätte daher einen Drehimpuls von null sowie einen Gesamtisospin von null.