Bahndrehimpuls-Quantenzahlen - subtrahiert?

Mit zwei Elektronen mit Drehimpulsquantenzahl$l=1$Es gibt drei Möglichkeiten, die Sie sich heuristisch so vorstellen können:

$L=0$: Die Drehimpulsvektoren der verschiedenen Elektronen sind anti-ausgerichtet. Also ist der Gesamtdrehimpuls$1-1=0$.

$L=1$: Der Drehimpulsvektor eines der Elektronen zeigt entlang der z-Achse, die anderen nicht. Der Gesamtdrehimpuls für diese Konfiguration ist also$1+0=1$

$L=2$: Die Drehimpulsvektoren sind beide ausgerichtet und ergeben$1+1=2$.

Sie können sich auch die ansehen$m_l$Quantenzahl. Sie haben immer zwei Elektronen mit$l=1$, aber die verschiedenen möglichen Kombinationen von$m_{l_1}$Und$m_{l_2}$geben Ihnen einen anderen Gesamtdrehimpuls:

($m_{l_1}=1$Und$m_{l_2}=-1$) oder ($m_{l_1}=-1$Und$m_{l_2}=1$) gibt$L=0$,

($m_{l_1}=1$Und$m_{l_2}=0$) oder ($m_{l_1}=0$Und$m_{l_2}=1$) oder ($m_{l_1}=-1$Und$m_{l_2}=0$) oder ($m_{l_1}=0$Und$m_{l_2}=-1$) gibt$L=1$,

($m_{l_1}=1$Und$m_{l_2}=1$) oder ($m_{l_1}=-1$Und$m_{l_2}=-1$) gibt$L=2$.

Betrachten wir den einfacheren Fall der Addition von zwei Teilchen mit Spin 1/2, bevor wir die Berechnung für zwei Teilchen mit Spin 1 durchführen. Die Diskussion hängt entscheidend von den Leiteroperatoren ab , also schauen Sie sich diese vielleicht an, wenn Sie nicht vertraut sind.

1/2 drehen

Die einzelnen Teilchenzustände werden durch aufgespannt$\{|+\rangle , |-\rangle\}$Der Zwei-Teilchen-Zustand hat also eine Basis:

$$\{ |--\rangle ,|-+\rangle , |+-\rangle , |++\rangle \}$$ Beachten Sie, dass zwei davon einer Austauschsymmetrie gehorchen, die beiden mittleren jedoch nicht. Wir können dies beheben, indem wir die beiden mittleren Zustände als Kombinationen aus symmetrischen/antisymmetrischen Zuständen umschreiben: $$|-+\rangle = \frac{1}{2}(|-+\rangle +|+-\rangle )+\frac{1}{2}(|-+\rangle -|+-\rangle )$$ und ebenso für$|+-\rangle$, unser Zweispinsystem hat also eine der Austauschsymmetrie angepasste Basis: $$\{ |--\rangle ,\frac{1}{\sqrt{2}}(|-+\rangle +|+-\rangle ) , \frac{1}{\sqrt{2}}(|-+\rangle -|+-\rangle ) , |++\rangle \}$$

Wir können nun die Frage stellen: Wie groß ist der Gesamtspin in jedem dieser Zustände? Dazu müssen Sie den Totalspin-Operator kennen$J^2=(\vec{J}_1+\vec{J}_2)^2=J_1^2+J_2^2+2\vec{J}_1\cdot\vec{J}_2$Der letzte Term kann in Form von Komponenten geschrieben werden als$2\vec{J}_1\cdot\vec{J}_2 = 2J_1^z1J_2^z + 2(J_1^xJ_2^x + J_1^yJ_2^y)$und der letzte Term kann wieder in Form von Leiteroperatoren umgeschrieben werden:

$$2(J_1^xJ_2^x + J_1^yJ_2^y) = J_1^+J_2^- + J_1^-J_2^+$$

was einem endlich erlaubt zu schreiben

$$J^2 = J_1^2+J_2^2 + 2J_1^zJ_2^z + J_1^+J_2^- + J_1^-J_2^+$$ (Dieser Ausdruck ist nicht auf die beschränkt$J=1/2$Fall).

Sie können dies dann einfach auf jeden Zustand anwenden und feststellen, dass die drei symmetrischen Basiszustände, die wir aufgeschrieben haben, alle sind$J=1$Zustände und die antisymmetrischen Zustände sind$J=0$.

Drehung 1

In diesem Fall gibt es immer noch zwei Teilchen, aber jetzt jeweils drei Zustände. Wir erhalten eine unsymmetrisierte Basis mit$3^2=9$Zustände. Diese Zustände sind keine Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses$J^2$die sich unter Teilchenaustausch gut verhalten sollten. Wenn alles gesagt und getan ist, erhalten wir acht symmetrieangepasste Zustände, die sich in einen Satz von 5 symmetrischen Zuständen auflösen ($J=2$) eine Menge von 3 antisymmetrischen Zuständen ($J=1$) und einen Singulett-symmetrischen Zustand ($J=0$).

Sie können an die denken$J=0$Zustände als Spins haben, die anti-ausgerichtet sind und sich somit aufheben, aber seien Sie vorsichtig bei der Tatsache, dass diese Zustände tatsächlich (anti)-symmetrische Kombinationen der einzelnen Teilchenzustände sind, die für Sie sinnvoll sein könnten, und die relativen Phasen spielen eine Rolle große Rolle bei der Bestimmung des endgültigen Drehimpulses. Das intuitive Bild sagt jedoch korrekt voraus, dass zwei Drehungen hinzugefügt werden$j_1, j_2$gibt einen totalen Spin$|j_1-j_2|\leq J \leq |j_1+j_2|$.