Kann man Physik rechnen, ohne −1−−−√−1\sqrt{-1} zu verwenden?

Die Verwendung komplexer Zahlen ist nie wirklich notwendig , aber wenn zutreffend, ist sie fast immer bequemer als die äquivalente Darstellung in einem 2d-reellen Vektorraum (tatsächlich lernt man die formalen Eigenschaften komplexer Zahlenmanipulationen typischerweise durch ihre Wirkung auf$(a,b) = a+ib.$)

Sie erwähnen, dass komplexe Zahlen für die klassische Elektrodynamik nicht notwendig zu sein scheinen, und ich stimme zu - aber ich kann mir nicht vorstellen, dass eine klar denkende Person auf ihre Verwendung verzichtet. Tatsächlich finde ich, dass komplexe Zahlen gerade in der klassischen E&M ihre Anmut bei der Beschreibung physikalischer Phänomene zeigen.

Ebenso gibt es, wie Lurscher erwähnt hat, QM-Formulierungen, die den ausdrücklichen Bezug auf komplexe Zahlen vermeiden – sie sind äquivalente mathematische Darstellungen , aber die Manipulationen haben einen zusätzlichen Grad an Buchhaltung, den wir bereits in komplexe Zahlen eingebaut hatten.

Und das ist der Haken. Komplexe Zahlen sind ein Werkzeug zur Beschreibung einer Theorie, keine Eigenschaft der Theorie selbst. Das heißt, sie können nicht der grundlegende Unterschied zwischen klassischer und Quantenmechanik sein. Der eigentliche Ursprung der Differenz liegt in der nicht kommutativen Natur der Messung im QM. Nun, dies ist eine Eigenschaft , die von allen Arten von Bestien erfasst werden kann – sogar von reellwertigen Matrizen.

zu 2. Überprüfen Sie diese Frage zu einem alternativen Formalismus für die Quantenmechanik mit Gleichungen, bei denen nur reale Wahrscheinlichkeitsdichten und Ströme auftreten. Der relevante Wikipedia-Artikel ist dieser über Madelung-Gleichungen .

Ich kenne keine Versuche, das Gleiche auf QFT auszudehnen. Da komplexe Reste die Butter und das Brot der meisten Feynmann-Schleifendiagramme sind, würde ich bezweifeln, dass es einfach oder lohnend wäre

Nehmen wir an, die grundlegenden Substantive unserer Sprache zur Beschreibung der physischen Welt sind die Mitglieder von Lie-Gruppen. Okay, das ist eine hochtrabend klingende Aussage und etwas willkürlich, aber meine Begründung ist, dass diese Objekte alle kontinuierlichen Symmetrien beschreiben, die es geben kann, und fast jede Klärung der Physik mithilfe von Mathematik erfolgt entweder (1) durch Betrachten eines mathematischen Objekts von a anderen Standpunkt (Vereinigung bisher scheinbar unzusammenhängender Konzepte) oder (2) durch Ausnutzung von Symmetrien, um die redundante Komplexität einer Aussage zu reduzieren oder loszuwerden. In unseren kontinuierlichen vielfältigen Beschreibungen der physischen Welt sind diese Symmetrien alle kontinuierlich. Irgendwo in dieser Liste von Symmetrien treffen wir uns also$U(1)$,$SU(2)$,$SO(3)$,$U(N)$und so weiter. Wir würden also notwendigerweise Berechnungen und Vereinfachungen mit diesen Objekten durchführen, wenn wir Symmetrien eines Problems ausnutzen. Ob wir uns dafür entscheiden, ein Objekt herauszugreifen wie:

und gib ihm ein besonderes Symbol$i$wo$i^2=-1$ist "Geschmackssache", daher ist die Verwendung komplexer Zahlen in diesem Sinne nicht unbedingt erforderlich. Nichtsdestotrotz würden wir diesem und ähnlichen Objekten notwendigerweise noch begegnen und mit Aussagen über solche Objekte umgehen müssen, wenn wir die Physik in einer kontinuierlichen Mannigfaltigkeit beschreiben - daran führt kein Weg vorbei, da es zu jeder vollständigen Beschreibung von Symmetrien der Welt gehört. In diesem Sinne sind komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen usw. alle in einer solchen Beschreibung vorhanden und wesentlich. Beachten Sie, dass komplexe Zahlen und ihre Algebra fast jedem in der Physik vertraut sind, Quaternionen etwas weniger Physikern und Oktonionen nicht wirklich vielen. Dies hängt einfach damit zusammen, wie oft die relevanten Symmetrieberechnungen auftauchen: Fast jede interessante kontinuierliche Symmetrie beinhaltet Lie-Gruppenobjekte, für die$i^2=-1$und so greifen wir diese heraus und wenden alle Regeln ihrer Algebra an, um uns davon abzuhalten, geradezu verschont zu bleiben und uns in Irrenanstalten zu begeben, die die ganze Zeit ihre vollständigen theoretischen Darstellungen der Lüge schreiben. Quaternionen herauszugreifen und dasselbe zu tun, spart etwas Arbeit, aber nicht so viel, weil Quaternionen in weniger Symmetrien auftreten. Wenn wir zu Oktonionen kommen, sind die Symmetrien, in denen sie auftauchen, ziemlich selten, so dass viele von uns nicht sehr geschickt mit ihrer speziellen Algebra sind (mich eingeschlossen): Wir können die vollständigen Matrix- / Lie-Berechnungen ohne allzu große Schmerzen durchführen weil Wir machen sie nicht so oft, also bemerken wir ihre Oktonionität nicht so schnell.

Fußnote: Man kann „Lügengruppenmitglieder“ und „Kontinuierliche Symmetrien“ aufgrund von:

1. Die Lösung von Hilberts fünftem Problem von Montgomery, Gleason und Zippin, dh wir brauchen weder den Begriff der Mannigfaltigkeit noch den Begriff der Analytizität ($C^\omega$) - diese „bauen sich“ aus der Grundidee einer stetigen topologischen Gruppe;
2. Die Klassifikation aller Lie-Algebren von Wilhelm Killing (der sah, dass er es kann, aber den Beweis ein wenig verpfuschte) und der große Elie Cartan – wir wissen also, wie alle stetigen Symmetrien aussehen. Nachdem wir alle Lie-Algebren klassifiziert haben, können wir alle möglichen Lie-Gruppen finden, da jede Lie-Gruppe eine Lie-Algebra hat, kann jede Lie-Algebra in eine Lie-Gruppe potenziert werden ( zB durch die Matrix Exponential, da jede Lie-Algebra dargestellt werden kann als eine Matrix-Lie-Algebra (Satz von Ado)) und die (global-topologischen) Beziehungen zwischen Lie-Gruppen, die dieselbe Lie-Algebra haben, ist ebenfalls bekannt.

Die Quantenmechanik braucht unbedingt komplexe Zahlen. Das Ersetzen komplexer Zahlen durch reelle Zahlen ist möglich, aber das würde viel Struktur verbergen und ist ein rein mathematischer Trick.

die Feynman-Amplitude ist$e^{i S}$, oder die Kommutierungsbeziehung zeigt an, dass etwas Tiefes vor sich geht und das nicht verstanden werden kann, indem man sie als 2 reelle Zahlen behandelt.

Feynman sprach früher von der Quantenmechanik als einer komplexen Erweiterung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie.

sehen

Raumzeit-Ansatz zur nichtrelativistischen Quantenmechanik und

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Quantenmechanik ( Link )

Viel Glück beim Versuch, eine Wechselstromkreistheorie ohne komplexe Zahlen zu machen - und das ist rein klassische Physik / Technik. Ein Großteil meiner Arbeit hängt von der Schaltungstheorie und dem Begriff der komplexen Impedanz ab. Ich werde nicht kategorisch behaupten, dass die Schaltungstheorie nicht rein in reellen Zahlen durchgeführt werden kann, aber ich habe sie noch nie gesehen. Vielleicht finden sich Beispiele in der Literatur des 19. Jahrhunderts. Von Zeit zu Zeit habe ich versucht, einfache Probleme nur mit reellen Zahlen zu lösen, und am Ende angewidert aufgehört.

Komplexe Arithmetik funktioniert so gut, warum sollte man sie vermeiden?

Um Teil 2 Ihrer Frage zu beantworten: Für die Quantenmechanik erleichtern komplexe Zahlen nicht nur den Herleitungsprozess. Tatsächlich, wenn zwei reelle Größen in QM kombiniert werden, um eine komplexe Größe zu bilden, wird dies getan, um zu betonen, dass diese beiden Größen nicht gleichzeitig gemessen werden können, siehe auch meine Antwort hier: https://physics.stackexchange.com/a/83219/ 1648 .

Insofern sind komplexe Größen ein wesentlicher Bestandteil der QM (wo nicht alles gleichzeitig gemessen werden kann), aber nicht in der klassischen Mechanik (wo simultane Messungen kein Thema sind).

Komplexe Zahlen haben zwei Operationen, Addition und Multiplikation.

Wenn Sie nur addieren würden, addieren sie wie Vektoren, sodass Sie wahrscheinlich nur Vektoren verwenden würden (obwohl manchmal eine Summe von 2D-Vektoren in komplexer Notation wie eine geometrische Reihe aussehen kann, sodass sie einfacher addiert werden kann, selbst wenn Sie dies ohne Multiplikation tun könnten ).

Wenn Sie nur multiplizieren würden, würden Sie vielleicht nur Rotationen verwenden, da sie sich so verhalten. Und das ist auch das Problem, sie zu vermeiden. In einer Ebene ist eine halbe volle Drehung dasselbe wie eine Multiplikation mit -1, also sind die zwei Quadratwurzeln die zwei Vierteldrehungen. Wenn Sie manchmal skalieren und manchmal drehen und manchmal in der Ebene verschieben und manchmal ein paar nacheinander machen, dann haben Sie wahrscheinlich etwas, das sich genau wie die komplexen Zahlen verhält, also möchten Sie es vielleicht nur einmal lernen und verwenden überall, damit Sie nicht am Ende einen Haufen separater Dinge lernen, die sich alle gleich verhalten und unterschiedliche Namen und Schreibweisen haben.

Wenn Sie jedoch all diese Dinge in höheren Dimensionen tun müssen, dann möchten Sie vielleicht gute Wege lernen, dies im Allgemeinen zu tun, und dann können Sie sie in 2D als Sonderfälle tun. Es gibt viele Unfälle in 2D, daher lässt sich nicht alles in 2D verallgemeinern.