Die Bedeutung der imaginären Zeit

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Die Bedeutung der imaginären Zeit

Zeit
Physik
Instantonen
Wegintegral
Dochtdrehung
komplexe Zahlen

glebowg

Was ist imaginäre (oder komplexe) Zeit? Ich habe über Hawkings Wellenfunktion des Universums gelesen und dieses Thema kam auf. Wenn imaginäre Masse und ähnliche imaginäre Größen in der Physik keinen Sinn ergeben, warum sollte imaginäre (oder komplexe) Zeit Sinn machen?

Mit imaginär meine ich ein Vielfaches von $i$ , und mit komplex meine ich einen reellen und einen imaginären Teil, dh $\alpha + i\beta$ , wo $\alpha, \beta \in {\mathbb R}$ .

Todd R

Ich habe davon gehört, Integrale über die Zeit in den komplexen Zeitbereich zu drehen. Ich weiß nicht, ob die komplexe Zeit eine physikalische Interpretation hätte oder ob es nur ein Berechnungswerkzeug ist. Oder ob deine komplexe Zeit und meine komplexe Zeit sogar dasselbe sind. Gute Frage.

resgh

Ich denke manchmal, imaginäre Zeit sollte Raum sein und komplexe Zeit sollte eine Kombination aus Raum und Zeit bedeuten, die miteinander verdreht sind ... Dank der Relativitätstheorie. Ich spekuliere darüber, da in der Metrik der Relativitätstheorie die Vorzeichen von Raum- und Zeitkomponenten entgegengesetzt sind, also würde das Ziehen ihrer Quadratwurzeln ...

José Javier García

vielleicht kann man es als Trick der „analytischen Fortsetzung“ sehen, damit am Ende alle Dinge endlich sind

t \to i t

$t \to it$ durch analytische Fortsetzung

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Die Bedeutung der imaginären Zeit

Ich habe davon gehört, Integrale über die Zeit in den komplexen Zeitbereich zu drehen. Ich weiß nicht, ob die komplexe Zeit eine physikalische Interpretation hätte oder ob es nur ein Berechnungswerkzeug ist. Oder ob deine komplexe Zeit und meine komplexe Zeit sogar dasselbe sind. Gute Frage.
Ich denke manchmal, imaginäre Zeit sollte Raum sein und komplexe Zeit sollte eine Kombination aus Raum und Zeit bedeuten, die miteinander verdreht sind ... Dank der Relativitätstheorie. Ich spekuliere darüber, da in der Metrik der Relativitätstheorie die Vorzeichen von Raum- und Zeitkomponenten entgegengesetzt sind, also würde das Ziehen ihrer Quadratwurzeln ...
vielleicht kann man es als Trick der „analytischen Fortsetzung“ sehen, damit am Ende alle Dinge endlich sind $t \to it$ durch analytische Fortsetzung

twistor59 · Answer 1

Der einfachste Weg, die verwendete imaginäre Zeit zu sehen, ist in der elementaren Quantenmechanik in einer Dimension. (Dies ist die Erklärung, die von Wikipedia abgekupfert wurde ).

Angenommen, wir betrachten ein Tunneling-Through-a-Barrier-Problem. Wir beginnen mit der Schrödinger-Gleichung:

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + v (x) ψ (x) = E ψ (x)

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

Machen Sie den Ansatz

ψ (x) = ψ_{0} \exp (\frac{ich}{ℏ} S (x))

$\psi(x) = \psi_0 \exp(\frac{i}{\hbar}S(x))$

Dann bekommen wir

- \frac{ich ℏ}{2 m} \frac{d^{2} S (x)}{d x^{2}} + \frac{1}{2 m} {(\frac{d S (x)}{d x})}^{2} + v (x) - E = 0

$-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S(x)}{dx^2}+\frac{1}{2m}\left(\frac{dS(x)}{dx}\right)^2+V(x)-E=0$

was nichtlinear ist. Wir können Fortschritte mit einem machen $\hbar$ Erweiterung

S (x) = S_{0} (x) + ℏ S_{1} (x) + \frac{ℏ^{2}}{2} S_{2} (x) + . . .

$S(x)=S_0(x)+\hbar S_1(x)+\frac{\hbar^2}{2}S_2(x)+...$

Nach langen Berechnungen können wir verschiedene Amplituden berechnen und Dinge wie den Barrierentunnelkoeffizienten ableiten

T = \exp (\frac{2}{ℏ} ich m (S))

$T=\exp(\frac{2}{\hbar}Im(S))$

wo

ich m (S) = \int_{a}^{b} | p (x) | d x

$Im(S)=\int_a^b |p(x)|dx$

( $p(x)=\sqrt{2m(E-V)}$ ) und $a$ und $b$ sind die $x$ Werte, bei denen die Potentialfunktion so ist $E<V(x)$ . Nun bietet Feynman einen anderen Ansatz an, nämlich dass die Amplitude, um von x = a nach x = b zu gelangen, gerade ist

⟨ x = b | \exp (\frac{ich H t}{ℏ}) | x = a ⟩ = \int D [x (t)] \exp (\frac{ich S [x (t)]}{ℏ}) (1)

$\langle x=b|\exp(\frac{iHt}{\hbar})|x=a \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)] \exp(\frac{iS[x(t)]}{\hbar}) \ \ \ (1)$ wobei das Integral über dem Raum der klassischen Pfade liegt

x (t)

$x(t)$ mit den richtigen Endpunkten. Das ist zwar sehr elegant, aber extrem schwer zu berechnen: Es ist immerhin ein Integral über einen unendlichen Dimensionsraum! Der imaginäre Zeittrick funktioniert wie folgt: Sie nehmen einfach eine Variablenänderung vor

t = - ich τ

$t=-i\tau$ dann die Aktion

S (x (t)) = \int \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} - v (x) d t

$S(x(t))=\int{\frac{1}{2}}m \left({\frac{dx}{dt}}\right)^2-V(x) dt$

wird

S (x (τ)) = ich \int \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d τ})}^{2} + v (x) d τ

$S(x(\tau))=i\int{ \frac{1}{2}}m \left({\frac{dx}{d\tau}}\right)^2+V(x) d\tau$ also hat die potentielle Energie das Vorzeichen relativ zur kinetischen Energie vertauscht (und wir haben einen Gesamt-i-Faktor aufgenommen). Definieren

S_{E} (x (τ)) = \int (\frac{1}{2} m (\frac{d x}{d τ})^{2} + v (x)) d τ

$S_E(x(\tau))=\int{(\frac{1}{2}}m ({\frac{dx}{d\tau}})^2+V(x)) d\tau$ , unser Pfadintegral ist jetzt

⟨ x = b | \exp (\frac{- H τ}{ℏ}) | x = a ⟩ = \int D [x (τ)] \exp (\frac{- S_{E} [x (τ)]}{ℏ}) (2)

$\langle x=b|\exp(\frac{-H\tau}{\hbar})|x=a \rangle = \int \mathcal{D}[x(\tau)] \exp(\frac{-S_E[x(\tau)]}{\hbar})\ \ (2)$ Jetzt wird das Integral von klassischen Pfaden dominiert, die diese Aktion extremisieren. Während ein extremaler Pfad, der zu (1) beiträgt, imaginäre Energie erfordern würde, um durch das Potential zu tunneln, das wie ein Hügel aussieht, ist für (2) der potentielle Hügel jetzt ein Tal und der entsprechende Extremfall ist nur der einer Kugel, die herunterrollt eine Seite des Tals und die andere hinauf. Nachdem Sie Ihre Berechnung im euklidischen Raum durchgeführt haben, fahren Sie fort, indem Sie die Antwort nehmen, die Sie erhalten haben, und in den Minkowski-Raum zurückkehren.

Soviel zur Mechanik. Sie können den gleichen Trick in der Feldtheorie machen, wo Ihr Pfadintegral jetzt über klassische Feldkonfigurationen verläuft . Die extremalen Feldkonfigurationen des euklidischen Raums werden Instantonen genannt . Nun zu Ihrer Frage, Hartle und Hawkinginteressierten uns dafür, was für die Anfangsbedingungen des Universums das Äquivalent von "x=a" in unserem einfachen Beispiel ist. Genau wie im QM-Beispiel arbeiteten sie in euklidischer Zeit und wollten, dass ihr Äquivalent zu „x=b“ ein de Sitter-Universum ist. Ihre Vermutung war, dass sie im Pfadintegral alle euklidischen Metriken für Räume ohne Grenzen enthalten sollten. So wie unsere euklidischen Extremalpfade die Gleichungen der klassischen Mechanik in euklidischer Zeit erfüllen, würden die im Pfadintegral der Quantenkosmologie enthaltenen Metriken die klassischen euklidischen Einstein-Signaturgleichungen erfüllen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die euklidische Zeit ein cleverer Trick ist, um Antworten auf extrem schlecht erzogene Pfadintegralfragen zu erhalten. Natürlich ist in der Planck-Epoche, in der das grenzenlose Pfadintegral angewendet wird, vielleicht die euklidische Zeit die einzige Zeit, die irgendeinen Sinn macht. Ich weiß es nicht – ich glaube nicht, dass es diesbezüglich einen Konsens gibt.

Juanrga · Answer 2

Ich werde die Antwort von twistor59 hinzufügen. Hawking mochte das Konzept der imaginären Zeit $\tau=\mathrm{i}t$ weil es eine Lorentzsche Metrik transformiert

d s^{2} = - c^{2} d t^{2} + d x^{2} + d j^{2} + d z^{2}

$ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

in eine vierdimensionale wie euklidische Metrik

d s^{2} = + c^{2} d τ^{2} + d x^{2} + d j^{2} + d z^{2}

$ds^2 = +c^2 d\tau^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Hawking und andere glaubten, dass auf diese Weise eine Quantengravitationstheorie entwickelt werden könnte. Dieser Ansatz wurde als "Euklidischer Weg-Integral-Ansatz" zur Quantengravitation oder einfach als "Euklidische Quantengravitation" bezeichnet. Hawkings Ansichten sind zusammengefasst in JB Hartle und SW Hawking, „Wave function of the Universe“ Phys. Rev. D 28 (1983) 2960–2975.

Dieser alte Ansatz funktioniert nicht, da viele Schwierigkeiten und Einschränkungen damit verbunden sind.

Beachten Sie, dass, obwohl imaginäre Zeiten manchmal als Trick verwendet werden, um einige mathematische Berechnungen in der statistischen Mechanik und der Quantenfeldtheorie zu vereinfachen, sie keine physikalische Bedeutung haben.

Können Sie einige Zitate für "in der statistischen Mechanik und der Quantenfeldtheorie haben [imaginäre Zeiten] keine physikalische Bedeutung" angeben?

de Kertanguy · Answer 3

Lassen Sie mich nur eine Idee skizzieren, um "imaginäre Zeit" einzuführen.

Ein Photon in einem Schwarzen Loch oder in einer Singularität muss verschwinden, seine Energie sollte 0 sein.

Wenn dieses Photon zuvor existiert hat, muss das Schwarze Loch seine Energie zerstören:

$E, A$ , oder seine Energie $a+a-=\left(N+\frac12\right)h\nu$

Am einfachsten ist es, den Phasenfaktor des Feldes zu berücksichtigen $\exp^i(\Omega t-Kr)$

Das Photon soll in Einstellung zerstört werden:

$t->i\tau$ , das drückt den Faktor auf Null, wenn $\tau\rightarrow \infty$ .

Dies könnte eine Idee für welche imaginäre Zeit hilfreich sein

TMS · Answer 4

Eine andere Betrachtungsweise besteht darin, sich vorzustellen, dass die Zeit eine gekrümmte Dimension ist, in gewissem Sinne wird sie zyklisch sein. Um sich das vorzustellen, stellen Sie sich eine Ebene mit zwei Dimensionen vor, dann ist die dritte übliche Dimension eine senkrechte Linie zu dieser Ebene. Stellen Sie sich nun vor, dass diese Linie in einem Kreis gebogen ist, daher wird diese Dimension immer wieder herumgehen, in dem Sinne, dass sie einen maximalen Wert hat, nach dem Sie zurückkommen werden. Zur Information, dieser Ansatz heißt Compactification, und wenn Sie mit komplexen Zahlen vertraut sind, denken Sie daran, dass rein imaginäre Exponentialzahlen zyklisch sind.

Nein, das Krümmen macht es aus offensichtlichen Gründen nicht senkrecht.

Die Bedeutung der imaginären Zeit

glebowg

Todd R

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Juanrga

Michael Levi

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TMS

Abhimanyu Pallavi Sudhir

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