Subtilität der analytischen Fortsetzung - Euklidisches / Minkowski-Pfadintegral

Die letzte Bedingung für eine realistische Theorie in der Physik ist, dass ihre Vorhersagen (von Streuamplituden oder Korrelatoren usw.) mit Beobachtungen übereinstimmen müssen. Dies impliziert, dass die Vorhersagen konsistent sein und einigen allgemeinen Konsistenzbedingungen genügen müssen (Unitarität, Nicht-Negativität von Wahrscheinlichkeiten, einige Symmetrien, Lokalität oder ungefähre Lokalität usw.).

Für theoretische Theorien gelten nur die allgemeinen Konsistenzen. Nun gilt es, alle möglichen Theorien einzuordnen und mit ihnen rechnen zu lernen.

Es stellt sich heraus, dass die euklidische Raumzeit oder das Weltblatt einfach ein einfacherer, unkomplizierterer Ansatz ohne Feinheiten ist, um eine Maschine zu produzieren, die einige Streuamplituden oder andere Observable berechnet.

Zumindest formal lassen sich die euklidischen Theorien an analytische weiterführen und umgekehrt. Für nichttriviale Raumzeit-Topologien sind die euklidischen Objekte wahrscheinlich besser handhabbar. Zum Beispiel sind die Weltblätter in der Stringtheorie (denken Sie an einen Torus oder Hosendiagramme usw.) in der euklidischen Signatur viel besser erzogen, sodass wir diesen Ansatz als "primär" betrachten können. Kovariante Berechnungen in der Stringtheorie werden fast immer mit den euklidischen durchgeführt. Das Ergebnis kann zu den Minkowski-Momenten usw. fortgesetzt werden, und einige der oben genannten Konsistenzbedingungen gelten aufgrund einiger Eigenschaften des komplexen Kalküls immer noch garantiert.

Im Lichtkegel-Messgerät können wir direkt mit den Minkowski-Signatur-Weltblättern arbeiten. Aber wir zahlen den Preis dafür, dass die Interaktionspunkte, an denen sich Strings teilen oder verbinden, singulär sind und die Richtung der "zukünftigen Zeit" mehrdeutig ist. Wir müssen auch Kontaktterme, Wechselwirkungsterme höherer Ordnung einbeziehen, um mit einigen Divergenzen fertig zu werden, die durch die singulären Weltschichten verursacht werden, aber wenn diese Dinge summiert werden, können wir beweisen, dass die resultierenden Amplituden mit den kovariant berechneten übereinstimmen (in der Euklidischen Unterschrift).

Schwerkraft ein$d\geq 4$(und vielleicht 3) leidet unter dem "negativen normkonformen Faktor". Die euklidische Einstein-Hilbert-Aktion$\int R \sqrt{g}$ist nicht mehr positiv definit. Insbesondere wenn Sie Skalarwellen betrachten, die die Metrik durch eine Gesamtzahl skalieren,$g_{\mu\nu}=e^F\eta_{\mu\nu}$, und leiten Sie den kinetischen Term für ab$F$, hat er das entgegengesetzte Vorzeichen als der kinetische Term für andere Komponenten des metrischen Tensors (die physikalischen Polarisationen der Gravitationswellen, wie z$g_{xy}$).

Daraus folgt, dass die Aktion weder von unten noch von oben begrenzt wird, und$\exp(-S_E)$im euklidischen Pfad wird das Integral in einem bestimmten Bereich des Konfigurationsraums divergieren. In diesem Sinne glauben die Menschen, dass das Minkowskische Pfadintegral das "koscherere" für die höherdimensionale Schwerkraft sein muss. Dies ist jedoch eine etwas leere Aussage, da auf der Quantenebene die höherdimensionale Gravitation, die als direkte Quantisierung der Einsteinschen Gleichungen erhalten wird, ohnehin inkonsistent ist. Und die Stringtheorie, die konsistent ist und die Schwerkraft enthält, gibt uns kein Werkzeug, um das Pfadintegral direkt in Bezug auf Raumzeitfelder einschließlich der Metrik umzuschreiben. es ist keine Feldtheorie im gewöhnlichen Sinne. Die Bevorzugung der „Minkowski-Signatur“ ist also etwas vage. Schließlich ist die Minkowski-Aktion auch nicht von beiden Seiten begrenzt. Dies wird als "kein Problem" angesehen, da der Integrand eines ist$\exp(iS)$die immer noch den absoluten Wert gleich eins hat, also nicht divergiert. Aber ich persönlich würde sagen, dass die Unbegrenztheit der euklidischen Aktion das "gleiche" Problem für das Minkowskische Pfadintegral ist.

Ganz allgemein ist die Wick-Rotation extrem wichtig in der Quantenfeldtheorie und sogar noch wichtiger in der Quantengravitation oder an Orten mit vielen Raumzeit- (oder Weltblatt-) Topologien, dh in Situationen, in denen man viele verschiedene "Zeitvariablen" hat, in denen wir sind könnte versuchen, die Dinge zu erweitern. Man sollte keine Angst haben, aber am Ende, mit welcher Theorie er sich auch beschäftigt, erhält er einige Amplituden, deren Selbstkonsistenz (und/oder Konsistenz mit Beobachtungen) überprüft werden muss. Mit einigen "guten Verhaltensregeln" beim Docht-Rotieren kann man "ziemlich sicher" sein, dass man einige Tests bestehen wird.