Wo befinden sich die Pole der Ein-Teilchen-Green-Funktion in der komplexen Ebene?

Es ist eine gute Frage, und sie hat eine schöne Antwort.

Es ist wahr, dass man für jede endliche Summe (in Bezug auf Ihren ersten Ausdruck) keinen komplexen Pol haben kann. Die Frage ist also: Wie kann der komplexe Pol in der erscheinen$\boldsymbol{n \to \infty}$Grenze? (Spoiler: Es kann.)

Die kurze Antwort ist, dass in der$n\to \infty$Grenze, die Funktion des Grüns kann einen Astschnitt entwickeln. Das bedeutet, dass die Funktion auf einer größeren Riemann-Fläche natürlicher definiert ist, was bedeutet, dass man diesen Zweigschnitt als „Portal“ zu einem neuen Blatt verwenden kann. Die komplexe Stange lebt auf diesem neuen Blatt! Nicht einmal M. Night Shyamalan wäre auf diese Idee gekommen.

Lassen Sie mich dies an einem Beispiel veranschaulichen. Angenommen, wir haben

$$G(z) = \sum_n \frac{c_n}{z-\varepsilon_n}\qquad \textrm{with } c_n = \frac{1}{\pi} \frac{\Gamma}{\varepsilon_n^2 + \Gamma^2},$$ wo wir an die denken können $\varepsilon_n$eine gleichmäßig beabstandete Liste von Energien entlang der realen Achse ist. Diese Funktion hat eindeutig keine komplexen Pole . Im Kontinuumslimit können wir jedoch leicht berechnen (z. B. mit dem Residuensatz), dass wir erhalten $$G(z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi}\; \frac{\Gamma}{\varepsilon^2 + \Gamma^2} \; \frac{1}{z-\varepsilon} \mathrm d\varepsilon = \left\{ \begin{array}{ccl} \frac{1}{z+i\Gamma} && \textrm{if Im } z > 0, \\ \frac{1}{z-i\Gamma} && \textrm{if Im } z < 0. \end{array} \right.$$ Offensichtlich hat diese Funktion noch keine komplexen Pole auf der komplexen Ebene! Allerdings haben wir jetzt einen Astschnitt auf der realen Achse. In einem solchen Fall ist die Funktion $G(z)$ist auf einer allgemeineren Riemann-Oberfläche natürlicher definiert . In diesem sehr einfachen Fall ist die Situation etwas komisch: Es gibt zwei komplexe Fortsetzungen, je nachdem, ob wir von unten oder von oben kommen. Mit anderen Worten, $G(z)$kann natürlicher als auf zwei getrennten komplexen Ebenen definiert gedacht werden: Auf einer haben wir $\frac{1}{z+i\Gamma}$, und auf der anderen Seite $\frac{1}{z-i\Gamma}$auf dem anderen. Auf diesem vollständigeren Bereich sind die Funktionen eindeutig analytisch (dh kein Zweigschnitt mehr) und wir haben komplexe Pole bei $z = \pm i \Gamma$! (Anmerkung: Diese beiden getrennten Funktionen entsprechen den verzögerten und fortgeschrittenen Green-Funktionen.)

Am Ende eine Riemann-Fläche zu haben, die die Vereinigung zweier disjunkter Räume ist, ist etwas ungewöhnlich und ein Artefakt von$G(z)$einen Astschnitt haben, der das Flugzeug in zwei Teile schneidet. In allgemeineren Situationen (wo sich der Zweigschnitt nicht über die gesamte reelle Achse erstreckt) wird die Riemann-Fläche verbunden. Es wird immer noch wahr sein, dass Sie, um zum komplexen Pol zu gelangen, den Astschnitt in den neuen Ast überqueren müssten. (Da auf diesen neuen Zweig nicht ohne einen Zweigschnitt „zugegriffen“ werden kann, ist es sinnvoll, dass es keinen komplexen Pol für jede endliche Summe gibt.)