Von Minkowski zur euklidischen Zeit in Pfadintegralen

Ich versuche folgende Gleichheit zu beweisen:

< X F , ich T F | X ich , ich T ich >= N ∫ { X ∈ R R : X ( T F ) = X F ∧ X ( T ich ) = X ich } D X exp ⁡ { − 1 ℏ ∫ T ich T F D T { 1 2 M [ X ' ] 2 − ( − v [ X ] ) } }
wo die Definition von < X F , T F | X ich , T ich > wird gegeben von:

< X F , T F | X ich , T ich >≡ N ∫ { X ∈ R R : X ( T F ) = X F ∧ X ( T ich ) = X ich } D X exp ⁡ { ich ℏ ∫ T ich T F D T { 1 2 M [ X ' ] 2 − ( v [ X ] ) } }

Was ich bisher gemacht habe:

  • Nehmen Sie an, dass der Integrationsbereich, d. h. { X ∈ R R : X ( T F ) = X F ∧ X ( T ich ) = X ich } ist derart, dass alle Funktionen in diesem Satz analytisch in einem neuen Integrationsbereich fortgesetzt werden können { X ∈ C C : X ( ich T F ) = X F ∧ X ( ich T ich ) = X ich } . Ist das gültig?

  • Setzen Sie die Definitionen ein: < X F , ich T F | X ich , ich T ich >= N ∫ { X ∈ C C : X ( ich T F ) = X F ∧ X ( ich T ich ) = X ich } D X exp ⁡ { ich ℏ ∫ ich T ich ich T F D T { 1 2 M [ X ' ] 2 − ( v [ X ] ) } }

  • Jetzt zum Rechnen ∫ ich T ich ich T F D T { 1 2 M [ X ' ] 2 − ( v [ X ] ) } eine Variablenänderung vornehmen (ist das gültig? Brauchen Sie nicht den Satz von Cauchy und auch die Annahme, dass die Zeitgrenzen gegen unendlich gehen?) T ↦ − ich T zu bekommen: ich ∫ T ich T F D T { 1 2 M [ X ' ] 2 + v [ X ] } So erhalten Sie den richtigen Exponenten.

  • Aber wie beweist man das N ∫ { X ∈ C C : X ( ich T F ) = X F ∧ X ( ich T ich ) = X ich } D X = N ∫ { X ∈ R R : X ( T F ) = X F ∧ X ( T ich ) = X ich } D X ? Ist es überhaupt das gleiche N ?
Ich denke, Sie haben vielleicht vergessen, das Maß zu ändern: D T = ich D τ
Entschuldigung, ich habe Sie vielleicht verwirrt. Ich habe die Änderung der Variablen so bearbeitet, dass sie widerspiegelt, was ich ursprünglich meinte.
Nur eine faire Bemerkung, seien Sie vorsichtig mit Wick-Rotationen, wenn Sie Vektorpotentiale haben Q X → ⋅ A → dies wird keine ordentliche, einfache echte Aktion geben!
Es scheint, als ob dies hier für QFT beantwortet wurde: link.springer.com/article/10.1007/BF01645738 und eine Reihe verwandter Artikel.

Antworten (1)

Wenn man Feynmans Verfahren sorgfältig folgt, findet man tatsächlich:

⟨ X ″ | e − ich ( z ″ − z ' ) ℏ H | X ' ⟩
= ⟨ X ″ , z ″ | X ' , z ' ⟩ = lim N → ∞ ϵ → 0 [ M 2 π ich ℏ ϵ ] N / 2 ∫ − ∞ + ∞ ⋯ ∫ − ∞ + ∞ ( ∏ ich = 1 N − 1 D X ich ) exp ⁡ { ich ϵ ℏ ∑ J = 0 N − 1 [ M 2 ( X J + 1 − X J ϵ ) 2 − v ( X J ) ] } ( 1 )
Wo z ' , z ″ ∈ C , Und ϵ = z ″ − z ' N .

Deshalb,

  • das Verfahren umfasst den allgemeinen Fall des komplexen Zeitraffers z ″ − z ' ;

  • ϵ ist eine komplexe Zahl der gleichen Art wie die von z ″ − z ' und diese Tatsache ist sowohl für den Vorzeichenwechsel vor der kinetischen Energie, den Übergang vom Lorentzschen zum euklidischen Formalismus, als auch für das Verschwinden des Gesamtfaktors verantwortlich ich vor der Aktion in der gleichen Situation.

Da die Formel (1) für allgemein komplexe Zeit gilt z Die „Dochtdrehung“ erfolgt automatisch: Sie ist nichts anderes als die Angabe der Beschaffenheit z , real oder imaginär.

In (1) gibt es keine wahren Pfade , die durch den Parameter parametrisiert sind z , Sie können jedoch frei interpretieren X J als mögliche Position in komplexer Zeit z J = z ' + J ϵ . Tatsächlich ist eine effektive (ich könnte sagen mächtige!) Interpretation, dass die Summe angesichts der Integrationen entlang der Klasse aller solcher "unterbrochenen" Pfade berechnet wird D X ich Verbindung auf alle möglichen Arten X J Und X J + 1 .

In der Grenze als N → + ∞ man erwartet, dass diese Pfade glatt werden (eigentlich ist die Geschichte anders, da die Menge der glatten Pfade das Maß Null hat ...) und schreibt formal die besagte Grenze als

< X ″ , z ″ | X ' , z ' >= N ∫ { X ∈ R R : X ( z ″ ) = X ″ ∧ X ( z ' ) = X ' } D X exp ⁡ { ich ℏ ∫ z ' z ″ D z [ 1 2 M ( D X D z ) 2 − v ( X ) ] } .

Sie sehen insbesondere den euklidischen Faktor N ist seitdem als analytische Fortsetzung der Lorentzschen zu interpretieren

N = lim ϵ → 0 [ M 2 π ich ℏ ϵ ] N / 2
Und ϵ hängt von der Art des betrachteten Zeitbegriffs ab.

Danke für deine Antwort. Es hat mir sicherlich geholfen, ein paar Dinge zu verstehen, von denen ich denke, das Wichtigste ist, dass die funktional-integrale Notation lediglich symbolisch ist und nur dann eine konkrete Bedeutung erhält, wenn die Zeit diskretisiert und die Grenze genommen wird. Aus Ihrer Antwort geht jedoch hervor, dass beim Übergang in die euklidische Raumzeit kein nicht trivialer Schritt stattfindet, was meines Erachtens völlig nicht trivial ist. Wann würde zum Beispiel die euklidische Raumzeit zusammenbrechen, und wie sehen Sie es bei dieser Art der Entwicklung des Pfadintegrals?
Tatsächlich gibt es viele nicht triviale Schritte, die vom Lorentzschen zum euklidischen Formalismus führen. Sie sehen zum Beispiel, dass jedes Integral in D X ich muss im Allgemeinen im Sinne einer Verteilung interpretiert werden, da die Integrandenfunktion im Lorentz-Fall oszillierend, aber nicht absolut integrierbar ist. Umgekehrt ist es ein echtes Integral im euklidischen Sinne, da die Funktion für große Argumente im Exponenten schnell verschwindet. Dieser Fall kann mit einem echten unendlichen Dimensionsmaß behandelt werden. Im Allgemeinen ist das funktionale Integral ein gutes mathematisches Objekt, wenn die Zeit komplex, aber nicht real ist
Ein effektives Verfahren besteht darin, das funktionale Integral für komplexe Zeit zu berechnen, einen solchen regularisierten Propagator in Berechnungen zu verwenden und den imaginären Teil der Zeit als letzten Schritt zu entfernen.
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