Verwenden der Wick-Rotation zur Berechnung der Erzeugungsfunktion im Minkowski-Raum

Eine Dochtrotation in der Raumzeit$x^{\mu}$impliziert über die Fourier-Transformation eine Wick-Rotation im Energie-Impuls-Raum$p_{\mu}$. Vielleicht ist der einfachste Weg, sich davon zu überzeugen, dass dies so sein muss, die Darstellung des Fourier-Integrals zu betrachten

$$\delta^4(x)~=~\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4p}{(2\pi\hbar)^4}~\exp\left(\frac{ip\cdot x}{\hbar} \right)\tag{A}$$ der Dirac-Delta-Verteilung . Es kann nicht analytisch auf die umgebende komplexe Raumzeit fortgesetzt werden. Der eigentliche Integrationsbereich kann höchstens verformt werden, dh der$x^0$Und$p_0$Dochtdrehungen müssen ausgeglichen sein. Siehe auch zB this und this related Phys.SE posts.

Cardy erläutert, wie man vom euklidischen Raum in den Minkowski-Raum übergeht.

Die Wick-Rotation kann als Koordinatentransformation betrachtet werden$x' \rightarrow x$, bei dem die$x' \equiv (\tau, \vec{x}')$sind die euklidischen und die$x \equiv (t,\vec{x})$sind diejenigen für den Minkowski-Raum (siehe unten für eine Einschränkung). Wie in der Frage angegeben$\tau = \mathrm{i} t$.

Ein Covektor transformiert gemäß

$$\omega_\mu = \frac{ \partial x'^\nu }{ \partial x^\mu } \omega'_\nu.$$ Verwenden Sie dieses Transformationsgesetz für den Vektor $p_\mu$wir bekommen für $p_0$ $$p_0 = \frac{ \partial x'^\mu }{ \partial x^0 } p'_\mu = \frac{ \partial x'^0 }{ \partial x^0 } p'_0 = \frac{ \partial \tau }{ \partial t } p'_0 = \mathrm{i} p'_0 .$$

Nun zur Einschränkung. Betrachtet man die Wick-Transformation als Koordinatentransformation, erhält man die folgende Metrik

$$g_{\mu\nu} = \frac{ \partial x'^\alpha }{ \partial x^\mu } \frac{ \partial x'^\beta }{ \partial x^\nu } g'_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)_{\mu\nu}$$ was in Cardys Konventionen das Negativ der Minkowski-Metrik ist.