Dochtrotationen, Konvergenz und Feynman-Propagatoren?

Die beiden Integrale hängen nicht durch eine Konturänderung zusammen, oder zumindest nicht auf offensichtliche Weise. Dies sind funktionale Integrale über einen Raum von Körpern$V_{\mathbb{R}}=\{\phi\ |\ \phi: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}\}=:\Gamma_1$nämlich eine (flache) unendlichdimensionale Integrationskontur innerhalb der Komplexierung$V_{\mathbb{C}}=\{\phi\ |\ \phi: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{C}\}$. Es gibt keine (möglicherweise gekrümmte) zweite Kontur$\Gamma_2$In$V_{\mathbb{C}}$was dir das andere Integral geben würde. Die Dochtrotation ist subtiler, da sie eine analytische Fortsetzung in den Argumenten der Funktion beinhaltet$\phi$was selbst die Integrationsvariable ist. Man tut nämlich so etwas wie Drehen$\phi(x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$hinein$\phi(\pm i x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$.

Darüber hinaus sind Integrale wie$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(iS[\phi])$oder$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S_E[\phi])$machen für sich genommen überhaupt keinen Sinn. Selbst im besser benommenen euklidischen Fall und ohne UV- und IR-Cutoff, wie würde eine Gleichung aussehen

$$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S[\phi])\ =\ \frac{3}{4}$$ bedeuten? Warum nicht $\frac{\pi}{2}$oder $10^{100}$wo wir gerade dabei sind?

Was sinnvoll sein kann, sind Verhältnisse wie

$$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F[\phi]\ \exp(iS[\phi])}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp(iS[\phi])}$$ oder $$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F[\phi]\ \exp(-S_E[\phi])}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S_E[\phi])}$$ für $suitable$Funktionen $F[\phi]$. Zum Glück braucht die Physik genau das, zB Korrelationsfunktionen. Ich denke, was Hawking auf sehr mathematisch nachlässige Weise zu sagen versucht, ist die folgende Tatsache. In einigen Fällen kann man das euklidische Verhältnis als ehrliches Integral in Bezug auf a ( $\sigma$-additiv) Wahrscheinlichkeitsmaß nämlich $$\int_{S'(\mathbb{R}^d)}\ F[\phi]\ d\mathbb{P}(\phi)\ .$$ Für das Minkowski-Verhältnis hingegen kann man das nicht mit a machen $\sigma$-additives komplexes Maß, auch für eine freie Theorie . Dies wurde zuerst von Cameron festgestellt, siehe zB diesen Artikel .

Beachten Sie, dass, obwohl der euklidische Impuls und der 4-Impuls im Minkowski-Raum durch eine Drehung der 0-Komponente zusammenhängen, die Integrale unterschiedlich sind. Ausführlicher unter der Substitution$p^0=\mathrm{i}\,p^0_\mathrm{E}$, wird das Integral

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}p^0=\mathrm{i}\,\int\limits_{\mathrm{i}\,\infty}^{-\mathrm{i}\,\infty}\!\mathrm{d}p^0_\mathrm{E}\ne \mathrm{i}\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d}p^0_\mathrm{E} \;.$$ Angenommen, Sie würden das Integral über eine Gaußsche Funktion berechnen, dann würden Sie es tun $$\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}x\,e^{x^2}\to \mathrm{i}\,\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}x_\mathrm{E}\,e^{-x^2_\mathrm{E}}\;,$$ wobei die linke Seite konvergent ist, die rechte Seite jedoch nicht. (Und du hast Recht, wenn du sagst, dass die $\varepsilon$Term lässt das Integral konvergieren.)