Determinante des d'Alembert-Operators □−m2◻−m2\mathop\Box-m^{2}

Nun, zum Beispiel Minkowski-Raumzeit (einfach einen Plane-Wave-Ansatz einstecken).

Das Unwohlsein kommt daher, weil die Formel mit der Determinante für Gaußsche Integrale gilt, dh

$\int e^{- \pi A_{ij} x^i x^j} d x = \frac{1}{\sqrt{\det A}} \ .$

Hier$A$ist symmetrisch positiv definit. Zuerst werde ich zeigen, dass dasselbe gilt, wenn im Exponenten ein steht$i$, dh

$\int e^{i\pi A_{ij} x^i x^j} d x = \frac{1}{\sqrt{\det A}} \ .$

Verformen Sie dazu die Integrationskonturen, um eine Integration von zu erhalten$e^{i \pi A_{ij} x^i x^j}$. Betrachten Sie der Einfachheit halber nur den eindimensionalen Fall, dh verformen Sie die Integrationskontur

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a x^2} d x = \frac{1}{\sqrt{a}} \ .$

Approximiere die Integrale durch ein Integral über das Intervall$[-R,R]$. Zerlegen Sie nun diese Kontur in eine Kontur$\gamma_1$aus$x = -R$Zu$x = -(R + i R)$, dann eine Kontur$\gamma_2$aus$x = - (R-iR)$Zu$x = R+ i R$und dann eine Kontur$\gamma_3$aus$x = R-iR$Zu$x = R$. Wir haben:

$\int_{-R}^{R} (...) d x = \int_{\gamma_1}(..)dz + \int_{\gamma_2}(..)dz + \int_{\gamma_3}(..)dz \ ;$

oder expliziter:

$\int_{-R}^{R} e^{-\pi a x^2} d x = \int_{-\frac{R}{\sqrt{2}}}^{\frac{R}{\sqrt{2}}} e^{i \pi a x^2} d x + I(\pi a R^2) \ , \ I(w) = 2 e^{-w} \int_0^1 e^{w x} \cos(2 x w) d x \ .$

Wenn wir das behaupten können$I(w) \rightarrow 0$für$w \rightarrow \infty$, dann haben wir unsere Formel erhalten. Dies ist jedoch nicht so schwer, beachten Sie dies zuerst

$I(w) \leq 2 e^{-w} \int_0^1 e^{w x} d x$

und verwenden Sie dann den ersten Mittelwertsatz für bestimmte Integrale (vgl. https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem#Mean_value_theorems_for_definite_integrals ) zum Schluss

$I(w) \leq 2 e^{-w(1-x_0^2)} \ ,$

mit$x_0$streng kleiner als 1. Dies reicht aus, um unsere Formel abzuschließen und damit

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a x^2} d x =\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \pi a x^2} d x$

Jetzt kommt die Pointe. Das obige Argument zeigt dies für ein positives Definites$A$man kann frei zwischen einem wechseln$i$im Exponenten oder a$-1$. Der Operator in Ihrer Frage,$\Box - m^2$, hat positive, negative und Null-Eigenwerte, wobei das Gaußsche Integral keinen Sinn mehr macht, während das imaginäre Gaußsche noch Sinn machen könnte.

Betrachten Sie in der Tat das gleiche Argument mit Konturen aus$x=-R$Zu$x = -(R+iR)$usw., was gibt

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi a x^2} d x =\int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \pi a x^2} d x$

Daher führt das Rückwärtslesen zu der Schlussfolgerung

$\int e^{i\pi A_{ij} x^i x^j} d x = \frac{1}{\sqrt{|\det A}|} \ .$

Daher stellen die negativen Eigenwerte kein Problem dar. Was ist mit den Null-Eigenwerten? Nun, sie sind im Allgemeinen ein Problem, aber sie können auf ähnliche Weise wegfallen, wie man eine Quadratwurzel-Singularität integrieren kann.

Insbesondere wenn$A$hat einen Eigenvektor$v$mit$Av = 0$, dann hat das Gaußsche Integral eine flache Richtung und die Determinante ist unendlich. Wenn man jedoch in unendlich dimensionale Vektorräume geht, können interessantere Dinge passieren. In diesem Fall kann das Gaußsche Integral als Grenzwert endlichdimensionaler Integrale sinnvoll sein oder auch nicht; Hier werde ich einige Bemerkungen zur Determinante machen.

Lass uns nehmen$A$ein selbstadjungierter Operator sein. Dann das Spektrum von$A$besteht aus dem Punktspektrum , also reellen Zahlen$\{\lambda_i\}_{i\in \mathbb{N}}$st gibt es Vektoren$v_i$mit$A v_i = \lambda_i v_i$. Aber zusätzlich kann A auch ein kontinuierliches Spektrum haben . Dies ist der Satz von$\lambda$wofür$\lambda - A$ist injektiv, aber nicht surjektiv (zusätzlich verlangt man auch ein dichtes Spektrum). Grob gesagt bedeutet dies, während$\lambda - A$alle Vektoren im Vektorraum auf Nicht-Null-Vektoren abbildet, ist es immer noch nicht möglich, ihn zu invertieren. Der Grund ist, dass es ungefähre Eigenwerte geben könnte, zum Beispiel wie schmale Wellenpakete fast Eigenzustände des Ableitungsoperators sind. Jedenfalls bedeutet dies, dass wenn wir jetzt den Logarithmus der Determinante nehmen, diese aus zwei Termen besteht:

$\log |\det A|^{-\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2} \sum_{i =1}^\infty \log|\lambda_i| - \frac{1}{2} \int_0^\infty \rho(\lambda) \log \lambda d \lambda \ .$

Hier$\rho(\lambda)$ist eine positive Funktion, die angibt, wie viele Eigenwerte sich in einem Intervall befinden$[\lambda,\lambda + d\lambda]$.

Beachten Sie, dass wenn$A$ein Differentialoperator ist, muss man diesen Ausdruck normalerweise regularisieren, aber das wird hier nicht von Interesse sein. Konzentrieren wir uns stattdessen darauf, wie Null-Eigenwerte zu einem Problem werden können. Erstens verschwindet, wie in den endlichdimensionalen Fällen, wenn ein echter Eigenwert Null ist, die Determinante. Was aber, wenn sich das kontinuierliche Spektrum bis auf Null erstreckt? Wie wir an der Formel sehen können, ist dies nicht allzu problematisch, da$\log(\lambda)$ist bei 0 integrierbar, solange$\rho(\lambda)$ist nicht zu singulär für klein$\lambda$.

Machen wir ein Beispiel, das reelle Skalarfeld in der Minkowski-Raumzeit. Dann$A = \Box - m^2$hat nur kontinuierliches Spektrum:

$\log Z = -\frac{1}{2} \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \log|p_0^2 - \vec{p}^2 - m^2| = -\frac{1}{2} \int_0^\infty \log(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda$

mit der Funktion

$\rho(\lambda) = \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \delta(\lambda - |p^2 - m^2|) = \rho_< + \rho_> \ $

mit

$\rho_<(\lambda) = 2 \int \frac{d^{n-1} p}{(2\pi)^n} \int_{0}^{\sqrt{\vec{p}^2 +m^2}}\delta(\lambda + p_0^2 - \vec{p}^2 - m^2) d p_0 = \\ = \frac{\text{Vol}(S^{n-2})}{(2\pi)^n} \int_0^\infty p^{n-2} \frac{\theta(p^2 + m^2 - \lambda)}{\sqrt{p^2 + m^2 - \lambda}} dp$

Und

$\rho_>(\lambda) = 2 \int \frac{d^{n-1} p}{(2\pi)^n} \int_{\sqrt{\vec{p}^2 +m^2}}^\infty \delta(\lambda - p_0^2 + \vec{p}^2 + m^2) d p_0 = \\ = \frac{\text{Vol}(S^{n-2})}{(2\pi)^n} \int_0^\infty p^{n-2} \frac{1}{\sqrt{p^2 + m^2 + \lambda}} dp$

Subtrahieren der unendlichen Konstante$\rho(0)$wir erhalten die renormierte Dichte

$\rho(\lambda) -\rho(0) = \frac{\text{Vol}(S^{n-2})}{(2\pi)^n} \int_0^\infty p^{n-2} \left[\frac{1}{\sqrt{p^2 + m^2 + \lambda}} + \frac{\theta(p^2 + m^2 - \lambda)}{\sqrt{p^2 + m^2 - \lambda}} - \frac{2}{\sqrt{p^2 + m^2}} \right] dp$

Lassen Sie uns überprüfen, was das Verhalten für klein ist$\lambda$. Der Einfachheit halber spezialisieren Sie sich auf$n = 4$.

$\rho(\lambda) -\rho(0) \sim \frac{3 \lambda^2}{16\pi^3} \int_0^\infty \frac{p^2}{(p^2 + m^2)^{\frac{5}{2}}} d p \sim \frac{1}{16\pi^3} \frac{\lambda^2}{m^2} \ \ \ \ \text{ as} \ \ \lambda \rightarrow 0 \ .$

Daher scheint es hier keine Probleme mit Null-Eigenwerten zu geben.