Berechnen eines Gaußschen Pfadintegrals mit einer Nullmodusbeschränkung

$a(\tau)$ist eine Funktion an$[0,1]$Sie können es also in eine Fourier-Reihe erweitern

$$a(\tau) = c \tau + a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos( 2\pi n \tau) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin( 2\pi n \tau)$$ In Ihrer Frage haben Sie keine Randbedingungen angegeben$a(\tau)$Ich weiß also nicht, ob es periodisch ist oder nicht. Die Aperiodizität von$a(\tau)$wird durch den ersten Term oben erfasst. Angesichts Ihrer endgültigen Antwort denke ich, dass es regelmäßig sein soll, also werde ich festlegen$c=0$.

Mit dieser finden wir

$$\int_0^1 d\tau a^2 = a^2_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n^2 + \sum_{n=1}^\infty b^2_n , \qquad \int_0^1 d\tau a = a_0$$ Das Pfadintegralmaß ist $$\int {\cal D} a = {\cal N} \int_{-\infty}^\infty da_0\prod_{n=1}^N\int_{-\infty}^\infty da_n db_n$$ ${\cal N}$ist eine Gesamtnormierung, die wir durch Renormierung des Pfadintegrals beheben werden. Beachten Sie, dass wir auch eine UV-Grenze eingeführt haben$N$. Der$N \to \infty$Grenzwert wird nach der Renormalisierung übernommen.

Wenn wir alles zurück in das Pfadintegral setzen, haben wir

$$\begin{align} Z &= \int {\cal D} a \delta \left( \int_0^1 d\tau a - {\bar \mu} \right) \exp \left( - \frac{1}{g^2} \int_0^1 d\tau a^2 \right) \\ &= {\cal N} \int_{-\infty}^\infty da_0\prod_{n=1}^N \int_{-\infty}^\infty da_n db_n \delta ( a_0 - {\bar \mu}) \exp \left( - \frac{a_0^2}{g^2} - \frac{1}{g^2} \sum_{n=1}^N a_n^2 - \frac{1}{g^2} \sum_{n=1}^N b^2_n ] \right) \end{align}$$ Das Integral vorbei$a_0$lokalisiert aufgrund der Delta-Funktion. Die restlichen Integrale sind einfache Gaußsche Funktionen. Deshalb, $$\begin{align} Z &= {\cal N} ( g^2 \pi )^N \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right) \end{align}$$ Wir können jetzt einstellen${\cal N} = \alpha ( g^2 \pi )^{-N}$Wo$\alpha$eine beliebige endliche Konstante ist und dann die nehmen$N \to \infty$Grenze, damit wir bekommen $$\begin{align} Z &= \alpha \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right) . \end{align}$$ Nun, ohne zusätzliche Informationen, die Normalisierung$\alpha$von$Z$kann nicht behoben werden. OP scheint diese Frage jedoch im Kontext des Papiers 2112.03793 zu stellen (dies wurde mir in den Kommentaren von @ ɪdɪətstrəʊlə klargestellt), in dem die Autoren die Normalisierungsbedingung auferlegen $$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int d {\bar \mu} Z = 1 \quad \implies \quad \alpha = \frac{1}{g}.$$ In Summe, $$Z = \frac{1}{g} \exp \left( - \frac{{\bar \mu}^2}{g^2} \right)$$

Während die Antwort von @Prahar in Bezug auf das exponentielle Verhalten, dh den Nullmodus, richtig ist, bin ich mit ihrer Art, den Vorfaktor zu erhalten, nicht einverstanden. Der$\frac{1}{g}$Verhalten ist entscheidend und keine Frage der Normalisierung . Insbesondere ignorieren sie, dass man bei solchen Berechnungen die resultierenden Determinanten zeta-funktionsregularisieren muss$^*$.

Bevor ich in den Nicht-Null-Modus-Sektor eintauche, möchte ich der Vollständigkeit halber die Wirkung des Null-Modus skizzieren. Wenn wir uns zersetzen$a$hinein$a= a_0 + a'$, Wo$a_0$eine Konstante ist (der Null-Modus) und$a'$sind nicht konstante, nicht windende, periodische Funktionen (und damit$\int_0^1 \mathrm{d}\tau \;a' = 0$), es ist klar, dass

$$\int_0^1\mathrm{d}\tau a = a_0$$ Und$\mathrm{D}a=\mathrm{d}a_0\; \mathrm{D}a'$. Dann wirkt sich die Delta-Funktion nur auf den Nullmodus aus und somit $$Z=\int \mathrm{d}a_0\ \delta\left(a_0-\bar{\mu}\right)\ \mathrm{e}^{-{a_0^2}/{g^2}}\ Z_\text{non-zero-mode}[g] = \exp\!\left(-\frac{\bar{\mu}^2}{g^2}\right)\ Z_\text{non-zero-mode}[g].$$

Nun ist der Nicht-Nullmodus-Sektor Gaußsch und frei von Beschränkungen und liest sich einfach

$$\begin{aligned} Z_\text{non-zero-mode}[g] &= \int \mathrm{D}a' \exp\!\left(-\frac{1}{g^2}\int \mathrm{d}\tau \ a^2\right) = \\ &= \left[\det'\!\left(\frac{1}{g^2}\mathbb{I}\right)\right]^{-1/2} = \\ &= \left(\prod_{n\neq 0} \frac{1}{g^2}\right)^{-1/2} = \prod_{n=1}^\infty g^2 \overset{\zeta}{=} \frac{1}{g}.\end{aligned}$$ Wo$\mathbb{I}$ist der Identitätsoperator, der auf dem Raum periodischer Funktionen und wirkt$\det'$schließt den Nullmodus aus, der oben separat behandelt wird. Die letzte Gleichheit wird in der Zeta-Funktions-Regularisierung verstanden$^\dagger$

Insgesamt haben wir

$$\begin{aligned}Z[g,\bar{\mu}] &=\int\mathrm{D}a\ \delta\left(\int_0^1\mathrm{d}\tau a - \bar{\mu}\right)\ \exp\!\left(-\frac{1}{g^2}\int\mathrm{d}\tau a^2\right)=\\ &=Z_\text{non-zero-mode}[g,\bar{\mu}]\ Z_\text{zero-mode}[g,\bar{\mu}] = \\ &= \frac{1}{g}\ \exp\!\left(-\frac{\bar{\mu}^2}{g^2}\right), \end{aligned}$$ die gewünschte Antwort bekommen.

---

$^*$Wie @Prahar in einem Kommentar tatsächlich feststellte, kann man eine andere Regularisierungsmethode verwenden und sollte dieselbe erhalten$g^{-1}$Verhalten. Man kann jedoch nicht einfach die Normierung der Partitionsfunktion einstellen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten, da die Normierung in diesem Fall bereits festgelegt ist.

$^\dagger$Erinnere dich daran$\prod_{n=1}^\infty \text{constant} \overset{\zeta}{=} \exp(\log(\text{constant})\ \zeta(0))=\frac{1}{\sqrt{\text{constant}}}$.