Determinante eines Propagators

Angenommen, ich habe ein Pfadintegral ∫ D ϕ exp ⁡ ( ich S 0 ) . S 0 ist die übliche freie Aktion

S 0 = 1 2 ∫ ϕ ( − ◻ − M 2 ) ϕ = 1 2 ∫ ϕ G − 1 ϕ ,
und interaktionen interessieren mich im moment nicht. Wenn ich diese Integration mache, bekomme ich nur einen Begriff wie ( det G ) − 1 / 2 , das ist die Nullpunktsenergie. Normalerweise ist es mir egal und es wird in die Normalisierung des Pfadintegrals aufgenommen.

Aber sagen Sie, dass dieser Propagator von einem Parameter abhängt, und ich möchte diese Determinante tatsächlich beibehalten. Wie berechne ich das eigentlich? Ich weiß, dass ich den Trick machen kann

( det G ) − 1 / 2 = exp ⁡ ( − 1 2 Tr Protokoll ⁡ G )

aber dann müsste ich so etwas berechnen wie (nachdem Wick rotiert und in den Impulsraum gegangen ist)

∫ D D k ( 2 π ) D Protokoll ⁡ ( 1 k 2 + M 2 )

was natürlich divergiert (weil ich unendlich viele harmonische Oszillatoren habe) und eine Art Renormierung erfordert. Daher meine Frage: Wie berechnet man eine solche Determinante?

Erwägen Sie, die Umkehrung der Determinante gegen ein Pfadintegral über das fermionische Skalarfeld einzutauschen (was gegen die Spin-Statistik verstößt). Dadurch erhalten Sie zusätzliche Feynman-Regeln und behalten so die gewünschte Abhängigkeit vom Parameter bei. Funktioniert gut für Eichtheorien.
Aber ich werde immer noch in der gleichen Situation sein, nicht wahr? Ich habe keine Wechselwirkungen, also werde ich eine skalare freie Theorie gegen eine geisterfreie Theorie eintauschen, aber ich müsste immer noch die Nullpunktsenergie berechnen
Ja du hast Recht. Aber ich kann mir nicht vorstellen, wie Ihre Determinante physikalisch signifikant sein kann, wenn sie nicht von den Feldern abhängt (was die Wechselwirkung mit Geistern ergeben würde). Sie könnten dem Lagrangian immer einen konstanten Begriff hinzufügen, oder? Dieser Term ergibt einen konstanten unbestimmten Faktor im Pfadintegral, der Ihre Determinante absorbiert.
Diesen Konsanten zu bestimmen wäre mein Ziel! Der Grund, warum ich mich dafür interessiere, ist, dass ich über eine effektive Feldtheorie nachdenke, bei der ich zuerst ein Feld herausintegriere und dann mit einem anderen Pfadintegral zurückbleibe. Die Determinante des Propagators in die Normalisierung aufzunehmen, ist also etwas, was ich im Prinzip nicht tun kann
Ok, ich habe das gefunden physical.ucsd.edu/~mcgreevy/s13/215C-lectures.pdf . Hier, in Abschnitt 2.3.1, führt er die Berechnung durch und fügt einfach einen zusätzlichen Faktor von hinzu k 2 im Integral, da sonst der Logarithmus ein dimensionsbehaftetes Argument hätte. Auf diese Weise ist das Integral wohldefiniert und konvergiert, wenn man genügend Ableitungen nimmt. Ich bin mir nicht sicher, warum wir nur ein Extra hinzufügen dürfen k 2 allerdings im Logarithmus
Warum würdest du die Determinante dann nicht gegen Geister eintauschen? Das zweite Pfadintegral sollte die Interaktion-mit-Geist-Terme enthalten und wäre daher in der Lage, es perturbativ auszuwerten.
Nun, dann hätte ich meine Situation überhaupt nicht verbessert. Mein Ziel ist es, eine effektive Aktion für ein Feld zu erhalten, also möchte ich nur noch ein Feld in meinem Pfadintegral haben.
Es würde wahrscheinlich helfen, wenn Sie Ihr Problem ausführlich erläutern und die entsprechenden Formeln bereitstellen.

Antworten (2)

Sie können das Integral einfach mit Ihrer bevorzugten Regularisierungsmethode (Grenzwert, dimensional, Pauli-Villars ...) berechnen, und wenn alles gut geht (was nicht garantiert ist), hängen die Abweichungen nicht von Ihrem Parameter ab und werden es schließlich verschwinden, wenn Sie physische Dinge berechnen. Wenn dies nicht der Fall ist, ist Ihre Theorie möglicherweise einfach schlecht definiert.

Und was das Hinzufügen eines zusätzlichen Faktors angeht k 2 Wie in den Kommentaren erwähnt, wissen wir, dass das Hinzufügen der Spur von ln ⁡ k 2 würde eine (für physikalische Anwendungen) irrelevante Konstante hinzufügen (die in dimensionaler Regularisierung außerdem Null ist), so dass Sie sie hinzufügen können, wann immer Sie möchten.

Soweit ich weiß, ist der einfachste Weg, die Integration von Hand durchzuführen, für ganzzahlige Dimensionen (dh Mathematica gibt Ihnen das Integral in Bezug auf hypergeometrische Funktionen, aber das ist nicht wirklich hilfreich). Sie können das Integral ableiten (mit einem harten Abbruch Λ ) gegenüber M 2 , führe das Integral aus, expandiere hinein M / Λ , und dann wieder integrieren. Es kann hilfreich sein, eine Konstante zu subtrahieren ∫ k ln ⁡ k 2 .

Im Falle D = 3 , du solltest bekommen Λ 2 π 2 M 2 − M 3 6 π . Beachten Sie, dass der erste Term nicht (notwendigerweise) problematisch ist und eine sehr physikalische Interpretation haben kann. Zum Beispiel im Rahmen von N relativistische Bosonen im Limit N → ∞ (ein bekanntes Modell in kondensierter Materie) entspricht dieser Begriff der Renormierung des Parameters, der das System durch den Phasenübergang zwischen der geordneten und der ungeordneten Phase antreibt.

Determinante eines Propagators
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v