Frage zur unendlichen Summe im Quantenfeld

Die wahre Tatsache ist die folgende. In Betracht ziehen

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} \quad \mbox{with $s\in \mathbb C$ and } Re \:s >1\:. \tag{1}$$ Diese Funktion mit dem besagten komplexen Bereich ist wohldefiniert (die Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig) und ist eine komplexe analytische Funktion. Als Folge eines bekannten Satzes über analytische Funktionen ist es möglich, ihn zu erweitern $\zeta$außerhalb seiner ursprünglichen Domäne in eine andere komplexe analytische Funktion mit einer größeren Domäne. Im Allgemeinen ist diese Erweiterung lokal eindeutig. Mit dieser erweiterten Definition und Domäne gilt (1) nicht unbedingt.

Tatsächlich ist es möglich, dies zu beweisen$\zeta$erlaubt eine einzigartige komplexe analytische Erweiterung auf der gesamten komplexen Ebene$\mathbb C$außer dem Punkt$s=1$, wo es eine Singularität (einen einfachen Pol ) gibt, die nicht eliminiert werden kann, selbst wenn man nur Stetigkeit annimmt (was eine viel schwächere Bedingung als Analytizität ist).

Zusammenfassend gibt es eine einzigartige komplexe analytische Funktion$\zeta : \mathbb C \setminus \{1\} \to \mathbb C$Erfüllen (1) in der offenen Menge$Re\:s >1$, erfüllt es insbesondere (1) im übrigen Bereich nicht$\zeta(1)$kann nicht definiert werden.

Identitäten wie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} = -\frac{1}{12}\quad \mbox{if $s=-1$}.$$ machen auf keinen Fall Sinn, weil die Reihe in der LHS nicht konvergiert $s=-1$(offensichtlich!). Sie sind sinnvoll in Bezug auf die analytische Fortführung der ursprünglich definierten Funktion $\zeta$. In diesem genauen Sinne sind sie beispielsweise bei der Berechnung der Determinante unbeschränkter Operatoren mit diskretem Spektrum in der Quanten(feld)theorie nützlich.

NACHTRAG . Diese Eigenschaften von$\zeta$werden von anderen ähnlichen Funktionen geteilt, die aus dem Spektrum eines elliptischen selbstadjungierten Operators wie konstruiert sind$A:= -\Delta$, definiert auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit:

$$\zeta_A(s) := \sum_{\lambda \in \sigma(A)} (m_\lambda \lambda)^{-s}\:.\tag{2}$$ Über $m_\lambda$ist die geometrische Vielheit von $\lambda$was immer endlich ist wenn $A= -\Delta$auch einschließlich Störungen, in kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Formal gesehen, $\det A$ist proportional zur Partitionsfunktion einer QFT, die die Lorentzsche Version von zulässt $A$als Operator von Feldgleichungen, und wenn die euklidische Fortsetzung der Lorentzschen Tötungszeit zu kompakten Bahnen mit Periode führt $\beta$(die inverse Temperatur). Die Tötungszeit wird verwendet, um das statische Vakuum und die zugehörigen thermischen (KMS) Zustände zu definieren. Formal $$\det A = \prod_{\lambda\in \sigma (A)} m_\lambda \lambda\:.$$ Diese Productoria weicht jedoch im Allgemeinen ab. Trotzdem funktioniert das analytische Fortsetzungsverfahren. Formal (ich lasse es weg $m_\lambda$für die Erschütterung der Einfachheit) $$\zeta_A'(0) = \frac{d}{ds}|_{s=0}\left(\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \lambda^{-s}\right) = -\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \ln \lambda = -\ln \prod_{\lambda\in \sigma (A)} \lambda\:.$$ So kann man definieren $$\det A := e^{-\zeta_A'(0)}\tag{3}\:,$$ bereitgestellt $\zeta_A'(0)$existieren. Im Allgemeinen existiert sie nur im Sinne der analytischen Fortsetzung. Ich meine, dass sich die Funktion in (2) als wohldefiniert und analytisch herausstellt $Re \:s > c_A$für einige echte $c_A$es hängt davon ab $A$. Darüber hinaus kann diese analytische Funktion im Ganzen einzigartig analytisch erweitert werden $\mathbb C$mit Ausnahme einer diskreten Menge von Punkten, die eine erweiterte komplexe analytische Funktion (eigentlich meromorph) definieren. Dieses Set beinhaltet nicht $s=0$. Daher sind Definitionen wie (3) zumindest im Prinzip sicher.

Diese Methode kann verallgemeinert werden, um kompliziertere Objekte wie den (thermischen) renormierten Spannungsenergietensor mit einer Schleife in gekrümmter Raumzeit zu berechnen , und es ist möglich zu beweisen, dass das Verfahren äquivalent zu bekannteren wie der sogenannten Point-Splitting-Methode ist . (Ich habe einen Teil meiner anfänglichen Karriere damit verbracht, mich mit diesen interessanten Themen zu beschäftigen.)

Valters Antwort ist völlig richtig, aber ich werde sie nur kurz erläutern, um auf die spezifischen Werte einzugehen, nach denen Sie fragen. Die richtige Anlaufstelle ist die Wikipedia-Seite Particular values ​​of Riemann zeta function , die die meisten Werte von auflistet$\zeta(s)$(was, wie Valter erklärte, gleich ist

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}$$ Wenn $\operatorname{Re}(s)>1$), die ohne Verwendung von Reihen oder mit einfacheren ausgedrückt werden können.

Zum Beispiel der Wert$\zeta(2)$ist ja bekanntlich$\pi^2/6$, und die anderen positiven, geraden ganzen Zahlen haben Zeta-Werte, die rationale Vielfache einer Potenz von sind$\pi$.

Andererseits der Wert$s=1$ist etwas anders, weil die Zeta-Funktion dort einen Pol hat. Dies bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, die Serie zu erstellen

$$\zeta(1) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$$ etwas anderes bedeuten als $\infty$. Diese Reihe ist natürlich die harmonische Reihe , die wahrscheinlich das berühmteste Beispiel einer divergierenden Reihe ist, und es gibt mehrere einfache Beweise dafür, warum ihr Wert unendlich sein muss.

Wenn Sie jedoch fragen, warum wir darauf bestehen

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$$ ist unendlich, aber wir können ihm einen endlichen (und negativen) Wert zuweisen $$1+2+3+4+\cdots,$$ dann würde ich sagen, dass die zweite Reihe nur eine praktische Art ist, etwas anderes auszudrücken, und eigentlich gar nicht hätte verwendet werden sollen.