Abweichende Reihe

Ich habe über divergierende Serien nachgedacht, also könnte ich vielleicht etwas beitragen.

Betrachten Sie eine Folge von Zahlen (in einem beliebigen Feld, z. B. reelle Zahlen)$\{a_n\}$. Sie können nach der Summe der Glieder dieser Folge fragen, dh$\sum a_n$. Wenn die Grenze$\lim_{N\rightarrow\infty} \sum^N |a_n|$existiert, dann ist die Reihe absolut konvergent und man kann von der Summe sprechen$\sum a_n$. Falls das Limit aber nicht existiert$\lim_{N\rightarrow\infty} \sum^N a_n$existiert, dann ist die Folge bedingt konvergent, und wie (ich nehme an) Carl Witthoft oben kommentiert hat, gibt es einen Satz, der besagt, dass Sie die Folge in einer anderen Reihenfolge summieren und ein anderes Ergebnis für den Grenzwert erhalten können. Tatsächlich können Sie durch vernünftiges Umordnen jede gewünschte Zahl erhalten. Ich habe dies nur eingefügt, um zu erwähnen, dass, obwohl divergierende Reihen im Sinne des Summierens von Termen höchst bizarr erscheinen mögen und dass sie sich mit jedem Term einer Grenze nähern, nur die absolut konvergenten Reihen eine Verbindung zu unserer Intuition herstellen. Wir können also nach dem Sinn von Serien im Allgemeinen fragen.

Wie GH Hardys „Divergent Series“ auf Seite 6 erklärt, besteht der Trick darin zu verstehen, dass unser üblicher Begriff der Summe einer Reihe eine Möglichkeit ist, etwas zu definieren, das wir „Summe“ nennen. Mit anderen Worten, bei einer gegebenen Sequenz haben wir eine Karte, die dieser Sequenz eine Zahl zuordnet. Die "Summenkarte" ist die triviale Operation zum Summieren der Terme, wenn die Reihe absolut konvergent ist. Die Idee hinter divergent series ist zu erkennen, dass diese Karte, obwohl sie in gewissem Sinne kanonisch ist, nicht einzigartig ist.

Um genauer zu sein, betrachten Sie den Raum$V$aller Folgen zusammen mit Additions- und Skalarmultiplikationsoperationen (bei zwei gegebenen Folgen$\{a_n\}$und$\{b_n\}$und eine Zahl$\lambda$wir definieren Addition durch$\{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\}$und Skalarmultiplikation mit$\lambda\cdot\{a_n\}=\{\lambda a_n\}$). Nun ist der Raum von Folgen mit diesen Operationen ein (unendlichdimensionaler) Vektorraum (es gibt eine gute Frage zu Koordinaten, da ich hier eine bestimmte Basis annehme, aber machen wir uns jetzt keine Gedanken darüber). Man kann sehen, dass die absolut konvergente Reihe einen Unterraum bildet$U$von$V$und die "Summe"$S$ist nur eine lineare Funktion auf diesem Unterraum,$S:U\rightarrow\mathbb{R}$. Das Problem ist, dass diese Funktion nirgendwo anders definiert ist.

Um also divergierenden Serien einen Sinn zu geben, fragt man, ob es eine andere Karte gibt$S'$auf einem Unterraum definiert$W$das beinhaltet$U\subset W$so dass, wenn es auf diesen Unterraum beschränkt ist, nur die übliche Summe ist, dh da ist$S'$so dass$S'|_U=S$?

Und tatsächlich gibt es viele solcher Funktionale. Und jede davon nennen wir eine andere "Summierungsmethode" in dem Sinne, dass sie einer Folge einen Wert zuschreibt und dass, wenn eine solche Folge einer konvergenten Reihe entspricht, die üblichen Werte geliefert werden.

Zum Beispiel sagt Cesaro Summation, dass die Reihe vielleicht nicht konvergiert, weil sie weiter oszilliert (wie die$1-1+1\cdots$du erwähntest). Dann könnten wir das arithmetische Mittel der Teilsummen bilden$s_n=a_1+\cdots a_n$und definieren Sie die Cesaro-Summe der Folge$\{a_n\}$wie$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum^N s_n$. Es ist nicht schwer zu sehen, dass dies das übliche Ergebnis für konvergente Reihen ergibt (obwohl etwas unklar ist, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt), aber es gibt auch$1/2$zu den Wechselserien von$1-1+1\cdots$. Man muss also dem Wort "Summe" eine neue Bedeutung geben, und dann kann man neue Ergebnisse erhalten. Zum Beispiel besagt der Satz von Fejer ungefähr, dass (unter milden Bedingungen) die Fourier-Reihe einer Funktion möglicherweise nicht streng konvergiert, aber immer im Sinne von Cesaro summierbar ist. Es sagt Ihnen also, dass die schlimmste Divergenz, die in Fourier-Reihen auftritt, vom oszillierenden Typ ist, dh die Reihe divergiert nie zu$\pm\infty$. Außerdem kann man durch die Cesaro-Summierung erkennen, um welchen Wert die Reihe oszilliert. Aber das summiert die Reihe nicht in dem Sinne, dass sie im üblichen Sinne konvergiert.

Andere Ideen für Funktionale sind durch analytische Fortsetzung. Am offensichtlichsten ist die geometrische Reihe$\sum x^n=\frac{1}{1-x}$. Ist nur in konvergent$|x|\leq 1$Radius, aber man kann analytische Fortsetzung verwenden, um das Problem umzukehren$x=1$und das sagen$1+2+4+\cdots=\frac{1}{1-2}=-1$. In diesem Fall ist es einfacher, sich die Idee der linearen Algebra vorzustellen. Der Raum$U$ist aller geometrischen Reihen mit$|x|\leq 1$und$S$ist die übliche Summe. Jetzt führen wir eine Funktion ein$S'$durch$S':W\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{1-x}$so dass$W$ist nun jede geometrische Reihe außer der mit$x=1$. Ein Funktional, das sich auf diesen Fall für die geometrische Reihe reduziert, dies aber auch für andere Potenzreihen tut, ist die abelsche Summation.

Die Idee ist also nicht, die Reihe wirklich zu „summieren“ (nur absolut konvergente Reihensumme im üblichen Sinne), sondern den Begriff der Summe neu zu definieren, indem das Konzept verallgemeinert wird und dann dieser andere Begriff verwendet wird, um der Reihe durch das entsprechende einen endlichen Wert zuzuordnen Reihenfolge. Dieser endliche Wert sollte Ihnen etwas über die Reihe sagen, so wie die Cesaro-Summe Ihnen sagt, um welchen Wert die Reihe schwingt, oder wie die Abel-Summe die Funktion rekonstruieren kann, die die Reihe erzeugt hat. Summierungsmethoden sind also in der Lage, Informationen aus divergenten Reihen zu extrahieren, und so können sie einen Sinn ergeben.

In Bezug auf die Physik ist es wichtig zu betonen, dass Störungsreihen in der Quantenfeldtheorie (im Allgemeinen) divergent sind, aber weder Renormierung noch Regularisierung (grundsätzlich) mit dem „Summieren“ divergierender Reihen zu tun haben (die Zeta-Regularisierung ist eine Technik, die jedoch nicht obligatorisch ist). nützlich). Vielmehr tritt manchmal eine asymptotische Reihe in der Störungstheorie auf. Im Allgemeinen gibt es verschiedene Funktionen mit derselben asymptotischen Reihe, aber mit ergänzenden Informationen kann es vorkommen, oder auch nicht, dass man die Funktion mit dieser bestimmten asymptotischen Reihe eindeutig finden kann. In diesem Fall kann man ein als Borel-Summation bekanntes Summationsverfahren verwenden, um die gesamte Funktion vollständig zu rekonstruieren. Wenn so etwas in QFT passiert, ist es normalerweise mit dem Vorhandensein einer Art Instanton verbunden.nicht irgendeine Art von Unendlichkeit zu zähmen. Renormalisierung ist etwas völlig anderes (und viel schlimmer, da sie für den Anfang tatsächlich hochgradig nichtlinear ist).

Für weitere Informationen versuchen Sie, eine Kopie von Hardys Buch zu finden (es ist ein Juwel), oder für das lineare Algebra-Geschwätz von J. Boos, FP Cass "Classical and Modern Methods In Summability".

Wir können den endlichen Wert der Summe einer divergierenden Reihe als allgemeinen Grenzwert ihrer Teilsumme berechnen. Eine Antwort finden Sie unter diesem Link (es gibt Methoden und Methoden zum Summieren aller divergenten Reihen und Beispiele für 24 Summen divergenter Reihen): https://m4t3m4t1k4.wordpress.com/2015/11/25/general-method-for-summing -divergente-reihe-unter-verwendung-mathematik-und-ein-vergleich-mit-anderen-summierungsverfahren/

Wir können diese allgemeine Grenze verwenden, um den endlichen Wert divergenter Integrale zu berechnen, hier sind 3 Beispiele: https://m4t3m4t1k4.wordpress.com/2015/02/14/general-method-for-summing-divergent-series-determination-of -Grenzen-von-divergierenden-Folgen-und-Funktionen-in-singularen-Punkten-v2/