Renormalisierung von IR- und UV-Divergenzen

Ich glaube, Sie haben missverstanden, was der Professor sagen wollte. Um dies zu verstehen, lassen Sie uns das Integral gründlicher auswerten (Ihre Ausdrücke enthalten einige Fehler). Wenn wir das dimensionale Regularisierungsrezept verwenden$d\rightarrow d-2\epsilon$und eine zusätzliche Massenskala$\mu$erhalten wir für das betreffende Integral folgendes Ergebnis:

$$\int \frac{d^{d-2\epsilon}p}{(2\pi)^{d-2\epsilon}}\frac{1}{(p^2+\mu^2)^2}=\frac{\Gamma(2-d/2+\epsilon)}{(4\pi)^{d/2-\epsilon}}\mu^{-2(2-d/2+\epsilon)}.$$

Zum$d=4$wir bekommen

$$\int\frac{d^{4-2\epsilon}p}{(2\pi)^{4-2\epsilon}}\frac{1}{(p^2+\mu^2)^2}=\frac{\Gamma(\epsilon)}{16\pi^2}\left(\frac{\mu^2}{4\pi}\right)^{-\epsilon}.$$

Erweitern Sie dies um$\epsilon\rightarrow 0,$wir kommen an

$$\int\frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}}\frac{1}{(p^2+\mu^2)^2}\approx\frac{1}{16\pi^2}\left[\frac{1}{\epsilon}-\gamma+\log(4\pi)-\log(\mu^2)\right].$$

In der masselosen Grenze, dh$\mu\rightarrow 0$, der Logarithmus divergiert. Was können wir also über die Natur dieser Divergenz sagen?

Wie aus der Leistungszählung geschlossen werden kann, ein positives$\epsilon$entspricht dem Heilen von UV-Divergenzen, während ein negatives IR-Divergenzen heilt. Nehmen wir zunächst an, dass wir UV-Divergenzen behandeln und identifizieren$\epsilon=\epsilon_{UV}.$Was können wir über den verbleibenden divergenten Term sagen? Wir können beobachten, dass das gesamte Integral verschwinden muss (was früher in der Vorlesung bewiesen wurde), und dies geschieht nur, wenn der divergente Term gleich minus ist$1/\epsilon$Begriff, dh

$$\frac{1}{\epsilon_{UV}}=\gamma-\log(4\pi)+\log(\mu^2).$$

Nehmen wir als Nächstes an, dass wir es mit Abweichungen vom Infrarotbereich zu tun haben, und identifizieren wir sie$\epsilon=\epsilon_{IR}.$Wir müssen nun beobachten, dass die Auswertung des Integrals genau das gleiche Ergebnis liefert, aber mit$\epsilon_{UV}$und$\epsilon_{IR}$ausgetauscht. Die Bedingung für das Verschwinden des Integrals ist jetzt

$$\frac{1}{\epsilon_{IR}}=\gamma-\log(4\pi)+\log(\mu^2).$$

Aber die rechte Seite ist genauso wie im UV-Zustand! Das heißt, wir bekommen tatsächlich

$$\epsilon_{UV}=\epsilon_{IR}.$$

Wie der Dozent darauf hingewiesen hat, kann dies als dimensionale Regularisierung interpretiert werden, die sowohl das UV als auch das IR gleichzeitig "zähmt".