Wie extrahiert man eine endliche Antwort nach Anwendung der dimensionalen Regularisierung in QED?

Question

Wie extrahiert man eine endliche Antwort nach Anwendung der dimensionalen Regularisierung in QED?

Physik
Renormalisierung
Feynman-Diagramme
Quantenfeldtheorie
Dimensionsregulierung

Prem

Wenn man in der QED dimensionale Regularisierung anwendet, erhält man am Ende oft einen Ausdruck wie

Γ (N / 2) {(\frac{S}{μ^{2}})}^{- N / 2}

$\Gamma(n/2)\left(\frac{s}{\mu^{2}}\right)^{-n/2}$ , Wo

n

$n$ ist eine kleine Zahl,

Γ ()

$\Gamma()$ ist die Gammafunktion,

μ

$\mu$ ist eine Massenskala und

s

$s$ ist eine Konstante, die sich auf das spezifische Feynman-Diagramm bezieht.

Auf eine kleine zu tun $n$ Annäherung an die obige Gleichung erhält man einen Ausdruck wie:

\frac{2}{N} - γ - \ln (\frac{S}{μ^{2}})

$\frac{2}{n}-\gamma -\ln\left(\frac{s}{\mu^2}\right)$

Hier wird in Lehrbüchern wie der „Quantenfeldtheorie“ (Mandl und Shaw, Kapitel 10: Regularisierung, Gleichung 10.54) der erste Term ignoriert, weil er im Grenzwert as divergiert $n$ geht auf null. $\mu$ wird ersetzt durch $m$ - die Masse des Elektrons, vielleicht weil $\mu$ ist der Massenskalierungsfaktor. Auch die zweite Amtszeit $\gamma$ , wird weggelassen, vielleicht weil es eine Konstante ohne Massenskalierungsfaktor ist $\mu$ darin und ist daher nicht-physisch.

All dies erscheint mir sehr ad hoc. Sind diese Regeln bei der dimensionalen Regularisierung allgemein anwendbar? Ist $\mu$ immer ersetzt durch $m$ ? Sind alle Begriffe wie $\gamma$ am Ende gefallen? Kann alle Begriffe mögen $\frac{2}{n}$ dass divergieren immer sicher ignoriert werden?

Mit anderen Worten, ich benötige ein allgemeines Verfahren, das befolgt werden muss, um nach Anwendung der dimensionalen Regularisierung eine endliche Antwort zu erhalten. Ich weiß, dass wir bei der dimensionalen Regularisierung eine Funktion analytisch von den Polen in der komplexen Ebene weg erweitern. Aber wie bekommen wir dabei eine endliche Antwort?

WAH

Uff. Ich finde die renormalisierte Störungstheorie am besten, um zu verstehen, wie man Dim-Reg sorgfältig implementiert und was mit dem passiert

1 / ϵ

$1/\epsilon$ 's und die Konstanten. Peskin und Schroeder leisten nur gute Arbeit bei der Beschreibung der Dinge. Stermans Buch kann etwas schwer zu lesen sein, weil es gründlich ist, aber das ist auch seine Stärke. Siehe insbesondere Stermans Erörterung von Renormierungsschemata ab Seite 285 seines Buches.

AccidentalFourierTransform

Sie lassen Begriffe nicht „fallen“ – Sie nehmen sie wieder in Gegenbegriffe auf. Sie ermöglichen Ihnen auch zu ersetzen

μ

$\mu$ für alle anderen

μ^{'}

$\mu'$ Sie möchten, im Wesentlichen durch die Wiederaufnahme eines Begriffs der Form

\log \frac{μ}{μ^{'}}

$\log\frac{\mu}{\mu'}$ . In wenigen Worten: Wenn Ihnen ein Buch sagt, dass Renormalisierung darin besteht, Begriffe fallen zu lassen, kaufen Sie ein besseres Buch.

Antworten (1)

Wie extrahiert man eine endliche Antwort nach Anwendung der dimensionalen Regularisierung in QED?

Uff. Ich finde die renormalisierte Störungstheorie am besten, um zu verstehen, wie man Dim-Reg sorgfältig implementiert und was mit dem passiert $1/\epsilon$ 's und die Konstanten. Peskin und Schroeder leisten nur gute Arbeit bei der Beschreibung der Dinge. Stermans Buch kann etwas schwer zu lesen sein, weil es gründlich ist, aber das ist auch seine Stärke. Siehe insbesondere Stermans Erörterung von Renormierungsschemata ab Seite 285 seines Buches.
Sie lassen Begriffe nicht „fallen“ – Sie nehmen sie wieder in Gegenbegriffe auf. Sie ermöglichen Ihnen auch zu ersetzen $\mu$ für alle anderen $\mu'$ Sie möchten, im Wesentlichen durch die Wiederaufnahme eines Begriffs der Form $\log\frac{\mu}{\mu'}$ . In wenigen Worten: Wenn Ihnen ein Buch sagt, dass Renormalisierung darin besteht, Begriffe fallen zu lassen, kaufen Sie ein besseres Buch.

Verrückter Max · Answer 1

Bei der Renormierung erscheint das Verfahren, bestimmte Größen in Gegenbegriffe zu resorbieren, ein wenig ad hoc. Hier sind einige allgemeine Richtlinien,

Die resorbierten Terme sollten lokal sein und lokalen Gegentermen entsprechen (mit Einschränkungen der externen Impulsabhängigkeit, z. B. sollte ein Massen-Gegenterm impulsunabhängig sein ). Im Fall von OP sollten die resorbierten Terme unabhängig von sein $s$ .
Der unendliche Teil sollte immer resorbiert werden. Im Fall von OP müssen die wieder aufgenommenen Bedingungen enthalten $\frac{2}{n}$ .
Ob der endliche Teil (die $\gamma$ Teil im Fall von OP) ist nur eine Frage der Bequemlichkeit (mehr dazu weiter unten), die keine physikalische Bedeutung hat. Hier liegen die Unterschiede zw $MS$ Und $\bar{MS}$ Schemata stammen.

Einige Anmerkungen zur Renormierungsskala $\mu$ ,

Man kann für die Existenz argumentieren $\mu$ indem Sie einfach aufrufen, dass die $x$ In $ln(x)$ muss dimensionslos sein. Ein eigenständiges $ln(s)$ mit $s$ der Masse-Quadrat-Dimension macht keinen Sinn, während $ln(\frac{s}{\mu^2})$ ist akzeptabel.
Die Renormierungsgruppengleichung, wie sie in den meisten QFT-Büchern formuliert ist, bezieht sich auf $\mu$ , was eine ungefähre Art ist, RG mit zu machen $s$ . Handelt es sich beispielsweise um eine Differentialgleichung für $x(s)$ mit Anfangszustand $x(s)|_{s=\mu^2} = x_0$ , kann die Lösung parametrisiert werden als $x(s, \mu^2, x_0)$ . Man kann eine ursprüngliche Differentialgleichung von ersetzen $dx/ds$ mit dem von $dx/d\mu$ .
Wie von @AccidentalFourierTransform hervorgehoben, können Sie ersetzen $\mu$ für alle anderen $\mu'$ Sie wollen, im Wesentlichen indem Sie einen zusätzlichen endlichen Term der Form resorbieren $ln(\frac{\mu^2}{\mu'^2})$ . Wie im vorherigen Aufzählungspunkt dargestellt, $\mu$ legt nur den Anfangspunkt des Laufens in RG fest. Es ist erlaubt, das Laufen von einem anderen Ausgangspunkt aus zu starten $\mu'$ .
Das Wunder der RG-Verstärkung lässt sich leicht durch einfache Resummierung geometrischer Reihen von Feynman-Diagrammen erreichen, zumindest im Zusammenhang mit der perturbativen QFT. Ob diese Art von störender Wiederaufnahme als nicht störend abgedunkelt werden kann, ist ein strittiger Punkt.

Danke @AccidentalFourierTransform! Ja das ist mir voll bewusst. Das Beispiel ist nur ein impulsunabhängiger Massenterm anstelle eines kinetischen Terms.

Wie extrahiert man eine endliche Antwort nach Anwendung der dimensionalen Regularisierung in QED?

Prem

WAH

AccidentalFourierTransform

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Verrückter Max

Verrückter Max

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