Masselose Renormierung der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie und λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Question

Masselose Renormierung der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie und λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Physik
Selbstenergie
Renormalisierung
Feynman-Diagramme
Quantenfeldtheorie
Dimensionsregulierung

Quanten-Spaghettifizierung

Bei der Renormierung von $\phi^4$ Theorie das Integral:

ICH = \int \frac{D^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{(k^{2} + M_{0}^{2}) ((k - P)^{2} + M_{0}^{2})}

$I=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{1}{(k^2+M_0^2)((k-p)^2+M_0^2)}$ erscheint während der Renormalisierung, wo ich nehme

M_{0}

$M_0$ die nackte Masse sein. Im masselosen Fall ist die renormierte Masse Null,

M = 0

$M=0$ . Wenn ich die Bare- Vertex-Funktion in Bezug auf renormierte Parameter in niedrigster Ordnung finden möchte , sehe ich zwei mögliche Behandlungsmöglichkeiten

I

$I$ :

Expandieren $I$ zu niedrigster Ordnung anfangs was seit $M_0 =0+\mathcal{O}(\lambda)$ wird: $ICH = \int \frac{D^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{k^{2} (k - P)^{2}}$ $I=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{1}{k^2(k-p)^2}$ Dies gibt mir einen Wert ungleich Null.
Alternativ könnte ich rechnen $I$ mit $M_0$ und dann erweitern. Das gibt mir (in $D=4-2\varepsilon$ Maße): $ICH \propto M_{0}^{- ε}$ $I\propto M_0^{-\varepsilon}$ $\sim λ^{- ε}$ $\sim \lambda^{-\varepsilon}$ Soweit ich mich erinnere, können wir jetzt behandeln $\lambda$ als willkürlich klein und als solche würde ich sagen, dass dies gehen sollte $\infty$ .

Mit meiner Interpretation von $\lambda^{-\varepsilon}$ die beiden Methoden stimmen daher nicht überein. Welche Methode ist die richtige Herangehensweise und wie interpretiere ich die Menge? $\lambda^{-\varepsilon}$

Quanten-Spaghettifikation

@marmot Eigentlich ist das besorgniserregender, da wir in diesem letzten Fall nicht nur keine Störungserweiterung mehr haben, sondern auch Bedingungen der Form erhalten

λ^{- a}

$\lambda^{-a}$ für beliebig groß

a

$a$ wenn wir die Erweiterung in Bezug auf tragen

λ

$\lambda$ zu höherer Ordnung.

Benutzer178876

Entschuldigung, ich kann den sehr langen Satz in Ihrem letzten Kommentar nicht verstehen. Aber Ihre Frage lautet jetzt, dass Sie in beiden Berechnungen unendlich erhalten, und Sie fragen sich, warum die Ergebnisse nicht übereinstimmen. (Ich stimme natürlich zu, dass die Ergebnisse nicht gleich sind, aber ich frage mich, was die Frage ist. Das erste Integral weicht auch ab, wenn Sie auferstehen

M_{0}

$M_0$ .)

Quanten-Spaghettifikation

@marmot (ignoriere meinen letzten Kommentar, war nicht sehr wichtig). Das Problem ist meiner Meinung nach, dass wir das gleiche Ergebnis für den Koeffizienten von erwarten sollten

λ^{0}

$\lambda^0$ in beiden Fällen. Das ist nicht der Fall. Darüber hinaus, wenn wir setzen

λ = 0

$\lambda=0$ im letzteren Fall (entspricht dem Putten

M_{0} = 0

$M_0=0$ ) kommen wir nicht auf das Ergebnis des ersten Falls zurück.

Benutzer178876

Ich habe immer noch Mühe, die Frage zu verstehen. Aber lass mich dir das sagen. Sie berechnen die Korrektur zu einem Massequadrat, und dies sollte sicherlich die Massendimension zwei haben. Andererseits lassen Sie alle Größen mit Massendimension fallen (so dass Ihre Theorie auf klassischer Ebene skaleninvariant wird). Wenn Sie die Cut-off-Regularisierung verwenden würden, wäre die Korrektur proportional zu

Λ^{2}

$\Lambda^2$ . Bei der dimensionalen Regularisierung wird es proportional zu

μ^{2}

$\mu^2$ . Aber Sie haben Recht, dass es nicht trivial ist, dies zu sehen, aber bekannt (vgl. Coleman-Weinberg-Potential).

Quanten-Spaghettifikation

@marmot Ich werde versuchen, meine Frage expliziter zu machen. Warum stimmen die beiden Methoden nicht überein und welche liefert bei Bestellung den richtigen Koeffizienten

λ^{0}

$\lambda^0$ .

Benutzer178876

Nun, ich denke, Sie möchten Ihre Erinnerung an die Coleman-Weinberg-Ableitung auffrischen. Peskin behauptet, die Berechnung in dimensionaler Regularisierung durchzuführen, aber meiner Meinung nach betrügt er. Ich wäre wirklich daran interessiert zu lernen, wie man das macht, ohne zu cheaten.

Antworten (1)

Masselose Renormierung der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie und λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

@marmot Eigentlich ist das besorgniserregender, da wir in diesem letzten Fall nicht nur keine Störungserweiterung mehr haben, sondern auch Bedingungen der Form erhalten $\lambda^{-a}$ für beliebig groß $a$ wenn wir die Erweiterung in Bezug auf tragen $\lambda$ zu höherer Ordnung.
Entschuldigung, ich kann den sehr langen Satz in Ihrem letzten Kommentar nicht verstehen. Aber Ihre Frage lautet jetzt, dass Sie in beiden Berechnungen unendlich erhalten, und Sie fragen sich, warum die Ergebnisse nicht übereinstimmen. (Ich stimme natürlich zu, dass die Ergebnisse nicht gleich sind, aber ich frage mich, was die Frage ist. Das erste Integral weicht auch ab, wenn Sie auferstehen $M_0$ .)
@marmot (ignoriere meinen letzten Kommentar, war nicht sehr wichtig). Das Problem ist meiner Meinung nach, dass wir das gleiche Ergebnis für den Koeffizienten von erwarten sollten $\lambda^0$ in beiden Fällen. Das ist nicht der Fall. Darüber hinaus, wenn wir setzen $\lambda=0$ im letzteren Fall (entspricht dem Putten $M_0=0$ ) kommen wir nicht auf das Ergebnis des ersten Falls zurück.
Ich habe immer noch Mühe, die Frage zu verstehen. Aber lass mich dir das sagen. Sie berechnen die Korrektur zu einem Massequadrat, und dies sollte sicherlich die Massendimension zwei haben. Andererseits lassen Sie alle Größen mit Massendimension fallen (so dass Ihre Theorie auf klassischer Ebene skaleninvariant wird). Wenn Sie die Cut-off-Regularisierung verwenden würden, wäre die Korrektur proportional zu $\Lambda^2$ . Bei der dimensionalen Regularisierung wird es proportional zu $\mu^2$ . Aber Sie haben Recht, dass es nicht trivial ist, dies zu sehen, aber bekannt (vgl. Coleman-Weinberg-Potential).
@marmot Ich werde versuchen, meine Frage expliziter zu machen. Warum stimmen die beiden Methoden nicht überein und welche liefert bei Bestellung den richtigen Koeffizienten $\lambda^0$ .
Nun, ich denke, Sie möchten Ihre Erinnerung an die Coleman-Weinberg-Ableitung auffrischen. Peskin behauptet, die Berechnung in dimensionaler Regularisierung durchzuführen, aber meiner Meinung nach betrügt er. Ich wäre wirklich daran interessiert zu lernen, wie man das macht, ohne zu cheaten.

Quanten-Spaghettifizierung · Answer 1

Okay, wenn ich nach einer kurzen Pause von der Arbeit darauf zurückkomme, stelle ich fest, dass ich beim Schreiben des Beitrags einen Fehler gemacht habe. Der Ausdruck, den ich für den Fall (2) geschrieben habe, ist falsch und eigentlich sollten wir das haben:

ICH \propto \int_{0}^{1} (X (1 - X) P^{2} + M_{0}^{2})^{D / 2 - 2} D X

$I \propto \int^1_0 (x(1-x)p^2+M_0^2)^{D/2-2}dx$ Dies macht meine Frage im Wesentlichen ungültig und klärt die Verwirrung auf, die ich darüber hatte. Verzeihung.

Masselose Renormierung der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie und λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

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