Vakuumpolarisation in der QED – warum ist sie für die Renormierung von Bedeutung?

Ein generisches verbundenes Feynman-Diagramm kann immer in eine Folge von irreduziblen Ein-Teilchen-Diagrammen (1PI) zerlegt werden, die durch Propagatoren miteinander verbunden sind. Die Begründung ist sehr einfach: Ein Feynman-Diagramm wird als 1PI bezeichnet, wenn es nicht in zwei aussagekräftige Feynman-Diagramme geteilt werden kann, indem eine interne Linie in zwei Teile geschnitten wird. Ein Feynman-Diagramm ist entweder 1PI oder nicht. Wenn dies nicht der Fall ist, können Sie es in zwei Teile schneiden, indem Sie einen internen Propagator teilen. Sie können die Frage zu den zwei Diagrammen wiederholen, die Sie auf diese Weise erhalten. Der Punkt ist, dass Sie die Diagramme weiter aufteilen, bis Sie 1PI-Diagramme erreichen. Am Ende schien Ihr ursprüngliches Diagramm, das nicht 1PI war, eine Reihe von 1PI-Diagrammen zu sein, die durch Propagatoren miteinander verbunden waren.

Das bedeutet nun, dass, wenn Ihre 1PI-Diagramme nicht divergieren, kein Diagramm divergiert, da alle Diagramme aus den 1PI-Diagrammen aufgebaut sind, nur einschließlich Propagatoren. Das heißt, wenn Sie die Divergenzen der Feynman-Diagramme beseitigen möchten, müssen Sie sich auf die 1PI-Diagramme konzentrieren.

Nun stellt sich heraus, dass die „Vakuumpolarisation“ in der QED nur die 1PI-Beiträge zum Photonenpropagator sind. In diesem Fall stellen Sie beim Studium der Vakuumpolarisation tatsächlich sicher, dass eines der 1PI-Diagramme gut definiert ist.

Kurz gesagt ist die Renomalisierung von QED wie folgt aufgebaut:

• Jedes Diagramm kann aus irreduziblen 1-Teilchen- Diagrammen (1PI) erstellt werden. In QED in 4D kann man zeigen, dass es nur 7 oberflächlich divergierende 1PI-Diagramme ohne divergierende Subdiagramme gibt, vgl. zB Art.-Nr. 1.

• Abgesehen von 1 Vakuumdiagramm, 2, die nach Furrys Theorem verschwinden, und 1 Endlichkeit bleiben tatsächlich nur 3 divergierende 1PI-Diagramme: Die Eigenenergie-/Vakuumpolarisationen der Photonen- und Elektronenfelder und ihr 3-Eckpunkt-Diagramm. OP fragt nach 1 dieser 3.

• 4$Z$-Faktoren müssen renormiert werden: Die Wellenfunktions-Renormierungen der Photonen- und Elektronenfelder, die$Z$-Faktor für ihre Kopplungskonstante$e$, und das$Z$-Faktor für die Elektronenmasse, vgl. zB Art.-Nr. 2.

Verweise:

1. ME Peskin & DV Schroeder, Eine Einführung in QFT; Abschnitt 10.1.

2. M. Srednicki, QFT, 2007; Kapitel 62. Eine PDF-Datei mit einem Vorveröffentlichungsentwurf ist hier verfügbar .

Ganz, ganz kurz gesagt: Unter Vakuumpolarisation versteht man den Vorgang, bei dem ein punktförmiges Teilchen wie ein Elektron mit Elektron/Positron-Paaren wechselwirken kann, die kurzzeitig aus dem Vakuum in der Nähe herausspringen. Wenn dies auftritt, orientieren sich die Paare in Bezug auf das "echte" Elektron, sodass die Positronen (+ Ladung) diesem Elektron zugewandt sind und die Elektronen davon weg zeigen - für einen Moment.

Dadurch verhält sich das ansonsten leere Vakuum mit der Zeit ein wenig wie ein Dielektrikum, das Ladungsdipole enthält, die auf elektrische Felder reagieren können, und aus der Ferne betrachtet scheint die Ladung des Elektrons teilweise durch diesen "Vakuumdielektrikum" -Effekt abgeschirmt worden zu sein.

Der Prozess der Renormierung beinhaltet dann die explizite Berücksichtigung dieses Abschirmeffekts bei der Berechnung des quantenmechanischen Verhaltens dessen, was wir für ein „nacktes“ Elektron hielten, das aber tatsächlich von einer Positronenwolke „verkleidet“ ist /Elektronenpaare, die es umgeben.

Das ist die Verbindung zwischen Vakuumpolarisation und Renormierung – wie ich es grob verstehe, dh ohne die Verwendung von Feynman-Diagrammen.

Renormalisierung ist der Name, den wir der folgenden Idee geben.

Um zu berechnen, was Quantenfelder tun, müssen wir Integrale ausführen. Wir brauchen eine mathematische Methode, um diese Integrale handhabbar zu machen. Eine Methode besteht darin, mit Zuständen der nicht wechselwirkenden Felder zu beginnen und Feynman-Diagramme zu erstellen und zu integrieren. Einige dieser Integrale divergieren jedoch. Bei der Untersuchung stellt sich heraus, dass eine Möglichkeit, zu sehen, warum wir ein divergierendes Integral erhalten haben, darin besteht, zu erkennen, dass wir versucht haben, unsere Theorie aus hypothetischen physikalischen Zuständen (den freien Teilchen oder nackten Zuständen) aufzubauen, die unendlich weit von der tatsächlichen Physik entfernt sind Zustände (Zustände der wechselwirkenden Felder). Es ist ein bisschen so, als würde man das Integral machen

$$\int_a^b \frac{1}{x} dx = \ln(a/b)$$ indem man versucht, den Ausdruck zu übernehmen $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^0 f(x) dx + \int_0^b f(x) dx$$ was auf den ersten Blick ok erscheint, aber dann zusammenbricht$f(x) = 1/x$. In diesem Integral versucht man, ein perfekt wohldefiniertes endliches Integral als Differenz zwischen zwei divergenten Integralen zu schreiben, was keine wohldefinierte Idee ist. Um das zu vermeiden, können wir stattdessen adoptieren $$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left[\int_a^\epsilon f(x) dx + \int_\epsilon^b f(x) dx \right]$$ und jetzt ist alles klar definiert.

Die nackten Zustände von Elektronen und Photonen – diejenigen, die in einer Theorie eines freien Feldes von beiden ohne Wechselwirkungsterm gesehen werden – dienen der Rolle von$\epsilon$in obigem. Sie sind unendlich weit von den tatsächlichen physikalischen Zuständen entfernt, in dem Sinne, dass ihre Energie unendlich weit von der Energie abweicht, die tatsächlich in den physikalischen Feldern vorhanden ist. Aber wenn wir vorsichtig genug sind, können wir die Berechnung so aufstellen, dass wir die Differenz zwischen den beiden Integralen erhalten (die jeweils einzeln genommen divergieren würden) und so die Differenz zwischen den Energien zweier physikalischer Zustände erhalten, oder allgemeiner, einiger andere Größe, wie eine Quantenamplitude, um sich von einem physikalischen Zustand in einen anderen zu entwickeln.

Was hat das alles nun endlich mit Vakuumpolarisation zu tun? Andere Antworten haben bereits erwähnt, wie wir nur eine kleine Anzahl von Feynman-Diagrammen erhalten, die wir neu normalisieren müssen, und eines davon ist dasjenige, nach dem gefragt wird. Der Name „Vakuumpolarisation“ ist ein Name für den Zustand der physikalischen Felder in diesem Szenario. Ein physikalisches Photon ist nicht dasselbe wie ein bloßes Photon, und ein physikalisches Elektron ist nicht dasselbe wie ein bloßes Elektron. Wir können uns das physikalische Elektron so vorstellen, als wäre es ein nacktes Elektron, umgeben von einer Wolke nackter virtueller Elektron-Positron-Paare, die als Dipole angeordnet sind, die eine Nettopolarisation ergeben. Aber dieses Bild gibt uns nur eine Möglichkeit, über physikalische Elektronen in Form von nackten Elektronen und Positronen nachzudenken, und nackte Elektronen und Positronen sind Hirngespinste unserer Vorstellungskraft: Sie sind Berechnungswerkzeuge, Zustände eines Feldes (des nicht-wechselwirkenden Feldes), das nicht existiert. Weil die eigentlichen Felder interagieren.

Es ist seit langem bekannt, dass es möglich sein sollte, all diese Berechnungen ganz ohne die Verwendung von Renormierung durchzuführen (z. B. indem durchweg mit physikalischen Zuständen gearbeitet wird und keine nackten Zustände aufgerufen werden), aber die Methode wurde sorgfältig in einer reichen Reihe ausgearbeitet der Umstände und es bleibt für viele Zwecke das Beste, was wir haben.