Wie sind diese "1-Teilchen-irreduziblen Einfügungen" richtig zu verstehen?

Question

Wie sind diese "1-Teilchen-irreduziblen Einfügungen" richtig zu verstehen?

Physik
Selbstenergie
Feynman-Diagramme
1pi-effektive-Aktion
Quantenfeldtheorie
Quantenelektrodynamik

Gold

In der QED führen einige Autoren wie Peskin & Schroeder beim Umgang mit der Vakuumpolarisation und dem Photonenpropagator die sogenannten "1-Teilchen-irreduziblen" Diagramme ein. Diese sind definiert als:

Lassen Sie uns ein irreduzibles Ein-Teilchen- Diagramm (1PI) als ein beliebiges Diagramm definieren , das nicht durch Entfernen einer einzelnen Linie in zwei Teile geteilt werden kann.

Dies ist also eine "grafische Definition", so dass wir bei einem gegebenen Diagramm bestimmen, ob es sich um ein 1PI handelt oder nicht, indem wir uns ansehen, ob eine Linie entfernt werden kann oder nicht, wobei zwei Diagramme übrig bleiben, die für sich genommen sinnvoll sind.

So viel verstehe ich. Was ich nicht verstehe, ist, dass Peskin & Schroeder dann Folgendes tun: Betrachten Sie die 1-Loop-Korrektur für den Photonenpropagator. Das wäre das Vakuum-Polarisationsdiagramm.

Die Autoren bezeichnen seinen Wert mit $i\Pi_2^{\mu\nu}(p)$ . Dann definieren sie $i\Pi^{\mu\nu}(p)$ um "die Summe aller 1PI-Einfügungen in den Photonenpropagator" zu sein. Dies wird durch Gl. (7.72)

Dann heißt es unten auf p. 245, dass die exakte Zweipunktfunktion ist

Jetzt verstehe ich nicht, was er hier macht. Zum Beispiel behauptet er, dass für $\Pi^{\mu\nu}(q)$ die Ward-Identität gilt $q_\mu \Pi^{\mu\nu}(q)=0$ .

Meine Frage ist:

Was ist die Motivation, dies zu definieren $\Pi^{\mu\nu}$ , nämlich zu berücksichtigen, dass "1-Teilchen-irreduzible Einfügungen"?
Wie gehen wir mathematisch damit um? Da ich nur eine "bildliche" Definition dessen habe, was ein einzelner 1PI ist, habe ich keine Ahnung, was es tatsächlich bedeutet, "alle möglichen 1PI-Einfügungen" zu berücksichtigen, und das verwirrt mich.
Warum der voll gekleidete Propagator, der als Fourier-Transformation von definiert ist $\langle \Omega |T\{A^{\mu}(x)A^{\nu}(y)\}|\Omega\rangle$ wird als diese Summe erweitert? Der Autor scheint das nicht zu beweisen.

Bearbeiten: Basierend auf den Antworten, die ich mir überlegt habe, und ich glaube, der Punkt ist, dass in der letzten Gleichung der zweite Term auf der rechten Seite die Summe über alle 1PIs ist, der zweite die Summe über alle Diagramme mit zwei 1PI-Stücken und so weiter.

Aber es scheint, dass der Autor Folgendes impliziert: "Die Summe über alle Diagramme mit zwei 1PI-Stücken ist dieselbe wie das Produkt zweier Summen aller 1PIs". Ich denke nämlich, dass der Autor versucht, Folgendes aufzuschreiben (writing $G_0^{\mu\nu}$ für den bloßen Propagator).

G^{μ v} = G_{0}^{μ v} + G_{0}^{μ a} Π_{a β} G_{0}^{β v} + G_{0}^{μ a} Π_{a β} G_{0}^{β ρ} Π_{ρ σ} G_{0}^{σ v}

$G^{\mu\nu}=G_0^{\mu\nu}+G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\nu}+G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}\Pi_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}$

jetzt habe ich versucht zu verstehen, warum die "Summe über alle Diagramme mit zwei 1PI-Stücken" eigentlich das ist, aber ich glaube, ich verstehe es nicht.

Gegeben seien zwei Diagramme, die jeweils in zwei 1PI-Stücke zerlegt sind. Das erste Diagramm hat 1PI-Stücke mit Werten $I_{\alpha\beta}$ Und $II_{\alpha\beta}$ während die zweite Werte hat $I'_{\alpha\beta}$ Und $II'_{\alpha\beta}$ . Zusammenfassend haben wir sie

G_{0}^{μ a} {ICH}_{a β} G_{0}^{β ρ} ICH {ICH}_{ρ σ} G_{0}^{σ v} + G_{0}^{μ a} {ICH}_{a β}^{'} G_{0}^{β ρ} ICH {ICH}_{ρ σ}^{'} G_{0}^{σ v} = G_{0}^{μ a} ({ICH}_{a β} G_{0}^{β ρ} ICH {ICH}_{ρ σ} + {ICH}_{a β}^{'} G_{0}^{β ρ} ICH {ICH}_{ρ σ}^{'}) G_{0}^{σ v}

$G_0^{\mu\alpha}I_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}+G_0^{\mu\alpha}I'_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II'_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}=G_0^{\mu\alpha}(I_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II_{\rho\sigma}+I'_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II'_{\rho\sigma})G_0^{\sigma\nu}$

jetzt kann ich das nicht auf etwas mit reduzieren $I+I'$ Und $II+II'$ was ich denke, ist das, was ich brauche. Was ist an meiner Überlegung falsch?

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/440789/2451

Antworten (2)

Wie sind diese "1-Teilchen-irreduziblen Einfügungen" richtig zu verstehen?

ACuriousMind · Answer 1

ACuriousMind

Es gibt nicht wirklich viel Motivation, außer dass es nützlich ist .
Es gibt wirklich nicht viel zu tun: Sie haben die Menge aller Feynman-Diagramme. Sie definieren, dass ein 1PI-Diagramm ein Diagramm ist, das nicht zu zwei nicht-trivialen separaten Diagrammen werden kann, indem Sie eine einzelne Linie schneiden. Jedes Diagramm, das nicht 1PI ist, hat also eine solche Linie. Die zwei Stücke, die Sie nach dem Schneiden der einzelnen Linie erhalten, sind entweder 1PI oder nicht, wenn nicht, wiederholen Sie den Vorgang. Dadurch wird jedes Diagramm als eine Folge von 1PI-Diagrammen zerlegt, sodass die Menge aller Diagramme die Vereinigung von „1PI-Diagrammen“, „2 durch eine Linie verbundene 1PI-Diagramme“, „3 durch eine Linie verbundene 1PI-Diagramme“ usw. ist. Zu sagen, man betrachte "alle möglichen 1PI-Einfügungen" im Propagator, bedeutet einfach, dass man die Summe über alle 1PI-Diagramme mit zwei externen Beinen betrachtet.
Es gibt wirklich nichts zu beweisen. Sie beginnen mit dem Wissen, dass der gekleidete Propagator die Summe über alle Diagramme ist, und da die Zeichenfolgen von 1PI-Diagrammen alle Diagramme erschöpfen, können Sie die Summe über alle Diagramme schreiben als die Summe über 1PI-Diagramme plus die Summe über alle 2 1PI-Diagramme plus die Summe über alle 3 1PI-Diagramme usw. Diese Erweiterung ist nützlich (wie Sie wahrscheinlich in Kürze in dem Text sehen werden, den Sie gerade lesen), weil sie eine geometrische Reihe in den 1PI-Beiträgen ergibt, was uns dann den Schluss zulässt, dass die 1PI-Beiträge genau die Massenverschiebung zwischen dem Nackten und dem Bekleideten sind Partikel.

Gold

Also lass mich sehen, ob ich das richtig verstanden habe. Ich wähle ein Diagramm, ein eingehendes Photon, etwas Beliebiges in der Mitte und ein ausgehendes Photon. Wenn es kein 1PI ist, gibt es eine Linie in der Mitte, die unterbrochen werden kann, um zwei Diagramme zu erhalten. Seine Form muss also wie in der zweiten Abbildung sein: Photon-beliebiges-Photon-beliebiges-Photon. Jetzt wiederhole ich das mit dieser „willkürlichen“ Sache, bis es nicht mehr geht. Dann ist jedes Diagramm mit zwei externen Zweigen eine Kette von 1PIs und sein Wert ist das Produkt aller solcher 1PIs. Dies bricht den Satz von Diagrammen, wie Sie gesagt haben, richtig?

Gold

Wenn ich jetzt den gekleideten Propagator berechne, summiere ich zuerst alle 1PIs, dies ist der zweite Term in der letzten Abbildung mit zwei externen Photonen und einer Schleife mit 1PI im Inneren. Dann wähle ich alle 2 1PIs, die durch eine Linie verbunden sind, und summiere sie alle. Dies ist der dritte Term in der letzten Abbildung, symbolisiert durch zwei externe Photonen und zwei Kreise mit 1PIs im Inneren. Ist das der Punkt?

ACuriousMind

@ user1620696 Ja, du hast richtig verstanden.

Gold

Nur eine Sache, wenn ich die geometrische Reihe aufschreibe, von der Sie sprechen, verstehe ich etwas falsch. Aus der letzten Abbildung, die ich gepostet habe, scheint der Autor zu implizieren, dass "die Summe aller 2 1PI-Diagramme, die durch eine Linie verbunden sind", dasselbe ist wie das Produkt zweier Summen aller 1PI-Diagramme zusammen mit einem Photonenpropagator in der Mitte. Das erste Diagramm schreibt er also als

G_{0}^{μ α} Π_{α β} G_{0}^{β ν}

$G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\nu}$ und der zweite

G_{0}^{μ α} Π_{α β} G_{0}^{β ρ} Π_{ρ σ} G_{0}^{σ ν}

$G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}\Pi_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}$ Sein

G_{0}

$G_0$ der bloße Photonenpropagator. In meiner Bearbeitung scheint es nicht zu funktionieren. Was ist falsch?

ACuriousMind

@ user1620696 Ich verstehe nicht wirklich, was Sie in Ihrer Bearbeitung tun, aber die Idee ist, dass es sich um eine Variante des Cauchy-Produkts handelt . Betrachten Sie einfach die beiden Summen, einerseits die "Summe aller 2 1PI-Diagramme verbunden durch eine Linie", andererseits die "Summe über alle 1PI-Diagramme mal die Ausbreitungszeiten Summe über alle 1PI-Diagramme". Sie sollten sich davon überzeugen können, dass es sich tatsächlich um die gleichen Diagrammsätze handelt , dh es gibt dort eine Bijektion. Aus jedem 1PI-Diagrammpaar erhält man ein „2 1PI-Diagramm mit Aline“ und umgekehrt. Das ist es.

Gold

Ich glaube, ich habe deinen Punkt verstanden. Gegeben sei die Menge aller Diagramme mit zwei äußeren Schenkeln

D_{2}

$\mathcal{D}_2$ Wir können ein Produkt darauf einführen, indem wir es definieren

D_{1} D_{2}

$D_1D_2$ um das Diagramm zu sein, das durch Verbinden des ausgehenden Zweigs von erhalten wird

D_{1}

$D_1$ und der ankommende Schenkel von

D_{2}

$D_2$ . Das haben wir dann für

D \in D_{2}

$D\in \mathcal{D}_2$ es gibt

D_{1}, \dots, D_{k}

$D_1,\dots,D_k$ alle 1PI mit

D = D_{1} \dots D_{k}

$D = D_1\cdots D_k$ . Somit sind alle "2 1PI mit einer Linie" alle Diagramme der Form

D_{i} D_{j}

$D_iD_j$ mit

D_{i}, D_{j}

$D_i,D_j$ 1PI und wir wollen

\sum D_{i} D_{j}

$\sum D_i D_j$ deshalb ist es eine Variante des Cauchy-Produkts. Am Ende wird dies

\sum D_{i} \sum D_{j}

$\sum D_i \sum D_j$ und wir haben das Ergebnis. Das ist es richtig?

ACuriousMind

@user1620696 Ja, genau!

Javier · Answer 2

Der Punkt bei der Definition der 1PI-Diagramme ist, dass die Berechnung aller Diagramme (einschließlich der reduzierbaren) überflüssig ist. Angenommen, Sie haben bereits die niedrigste Ordnung für die Eigenenergie berechnet, das Diagramm mit einer Elektronenschleife. Was ist, wenn Sie eine Elektronenschleife und dann eine weitere Elektronenschleife haben (also ein bisschen wie Ihr zweites Bild)? Ist das schwerer? Nein, es ist nur der Wert einer Elektronenschleife im Quadrat. Wenn wir also nur die 1PI-Diagramme berechnen, können wir alle Diagramme mit sehr wenig zusätzlicher Arbeit erhalten.

Alle möglichen 1PI-Einfügungen bedeuten nur, dass Sie innerhalb des schattierten Kreises alles einfügen können, solange es mit den externen Leitungen verbunden ist und 1PI ist. Die bildhafte Intuition ist eine gute Intuition, denn der Punkt der 1PI-Diagramme ist wiederum die Vereinfachung. Wenn ein Diagramm durch einen einzigen Schnitt in zwei Hälften geteilt werden kann, dann ist es nur das Produkt von zwei einfacheren Diagrammen.

Was den Propagator betrifft, erinnern Sie sich daran, dass Sie weiter oben in diesem Buch die Zweipunktfunktion für das Skalarfeld berechnet haben und sich herausstellte, dass dies die Summe aller Diagramme mit zwei externen Punkten an festen Positionen ist $x$ Und $y$ . Die Fourier-Transformation ist nur die Impulsraumversion davon. Und die Summe aller möglichen Diagramme mit zwei externen Photonen ist das, was P&S im zweiten Bild zeichnen, per Definition von 1PI: Wenn ein Diagramm nicht 1PI ist, kann es in zwei 1PI-Teile getrennt werden.

In Bezug auf Ihre Bearbeitung: Was das Buch behauptet, ist nur wahr, wenn Sie alle Diagramme in einer bestimmten Reihenfolge einfügen. In Ihrem Beispiel haben Sie übersehen, dass Sie auch eine haben sollten $I'-II$ und ein $I-II'$ Diagramm. Die Summe aller vier ergibt, was Sie wollen.

Ich glaube, ich verstehe es. In der letzten Abbildung, die ich gepostet habe, ist der erste Term der bloße Propagator, der zweite die Summe über alle 1PI-Diagramme, der dritte die Summe über alle 2 Teile von 1PIs, die durch eine Linie verbunden sind, und so weiter. Ein beliebiges Diagramm ist eine Reihe von 1PIs, also wird es in einigen dieser Summen enthalten sein und wir haben sie alle. Ist das die Idee?
@ user1620696 Ich habe den bearbeiteten Teil Ihrer Frage beantwortet.
jetzt sehe ich. Wenn ich einfach zwei Diagramme mit 2 1PI-Stücken auswähle und sie summiere, stellt sich heraus, dass dies kein Produkt der beiden Summen mit einem Propagator ist. Dies wird nur geschehen, wenn wir sie alle einbeziehen, was der Autor gemeint hat. Ist das der Punkt?

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