Beweis der Zweipunktfunktion der geometrischen Reihe

Beim Ableiten des Ausdrucks für den exakten Propagator

G C ( 2 ) ( X 1 , X 2 ) = [ P 2 − M 2 + Π ( P ) ] − 1

für ϕ 4 Theorie verwenden alle mir bekannten Bücher folgendes Argument:

G C ( 2 ) ( X 1 , X 2 ) = G 0 ( 2 ) + G 0 ( 2 ) Π G 0 ( 2 ) + G 0 ( 2 ) Π G 0 ( 2 ) Π G 0 ( 2 ) + … .

Hier Π ist die Summe aller irreduziblen Diagramme.

Wenn wir Feynman-Diagramme für die niedrigere Ordnung verwenden, können wir sehen, dass dies wahr ist, aber was ist mit den höheren Ordnungen? Gibt es einen formalen Beweis (durch Induktion oder etwas anderes), dass dies wahr ist?

Antworten (1)

Skizzierter Beweis:

  1. Im Allgemeinen wissen wir, dass ein verbundenes Diagramm ein Baum von bloßen Propagatoren ist G 0 und (amputierte) 1PI-Eckpunkte, vgl. Lemma 3.11 in Lit. 1.

  2. Insbesondere die Funktion Full Propagator/Connected 2-pt G C müssen Strings von Bare Propagators sein G 0 und (amputierter) 2-pt-Scheitel Σ ≡ Π , die wir Selbstenergie nennen .

  3. Was ist nun mit den Koeffizienten vor jedem Feynman-Diagramm? Aufgrund der damit verbundenen Kombinatorik/Faktorisierung wird sie zu einer geometrischen Reihe

    (A) G C   =   G 0 ∑ N = 0 ∞ ( Σ G 0 ) N .

  4. Wir können die (amputierten) 2-Punkt-Eckpunkte in Gl. (A)

    (B) Σ   =   G 0 − 1 − G C − 1 .

  5. Überhaupt die Eigenenergie Σ besteht aus verbundenen Diagrammen mit 2 amputierten Beinen, so dass die 2 Beine nicht durch Schneiden einer einzigen internen Linie getrennt werden können.

  6. Wenn es keine Kaulquappen gibt, die Selbstenergie Σ ist 1PI, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

Verweise:

  1. P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 Online-Vorlesungsunterlagen ; Abschnitte 3.11 & 3.12.
Beweis der Zweipunktfunktion der geometrischen Reihe
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v