Gleichung 7.227.227.22 in Peskin & Schroeder: Schreiben der Fourier-Transformation einer Zweipunktfunktion als eine Reihe von 1PI-Diagrammen

Ziel ist es, den einzelnen Teilchenpropagator in Gegenwart von Wechselwirkungen zu finden. Dieser Propagator ist die Summe aller Diagramme, die zwei äußere Ecken haben.

Diese Summe von Diagrammen wäre schwierig zu berechnen, aber es stellt sich heraus, dass es einfach ist, diese große Summe von Diagrammen als Summe einer kleineren Menge von Diagrammen zu schreiben: der Menge von "ein Teilchen irreduziblen" (1PI) Diagrammen. Ein 1PI-Diagramm ist ein Diagramm, das nicht durch Schneiden einer einzelnen Propagatorkante in zwei disjunkte Diagramme aufgeteilt werden kann.

Um zu sehen, warum dies wahr ist, stellen wir fest, dass jedes Diagramm auf einzigartige Weise in eine endliche Folge von 1PI-Diagrammen "entwirrt" werden kann. Das bedeutet, dass die Menge aller Diagramme in der Menge der Folgen von 1PI-Diagrammen enthalten ist.

Andererseits ist es eindeutig wahr, dass jede Folge von 1PI-Diagrammen ein Diagramm ist. Somit liegt die Menge aller Folgen von 1PI-Diagrammen in der Menge aller Diagramme.

Daraus schließen wir, dass das Betrachten aller endlichen Folgen von 1PI-Diagrammen dasselbe ist wie das Betrachten aller Diagramme.

Jetzt, wo wir uns die Summen von 1PI-Diagrammen ansehen, stellen wir fest, dass die Summenfaktoren: Nehmen Sie zum Zwecke der Argumentation an, dass$x$,$y$, Und$z$waren die einzigen 1PI-Diagramme. Dann würde unsere Summe von Folgen von 1PI-Diagrammen aussehen$1+x+y+z+xx+xy+xz+yx+yy+yz+zx+zy+zz+xxx+\cdots$. Beachten Sie nun diese Faktoren in$1+(x+y+z)+(x+y+z)^2+\cdots$. Der entscheidende Punkt hier ist, dass die Summe aller Längen$n$Sequenzen von 1PI-Diagrammen ist die$n$Potenz der Summe aller 1PI-Diagramme. Dies liegt daran, wenn Sie eine Länge konstruieren$n$Sequenz von 1PI-Diagrammen, wählen Sie einfach ein 1PI-Diagramm für das erste und ein anderes für das zweite und so weiter. Dasselbe passiert, wenn Sie eine Potenz der Summe von 1PI-Diagrammen berechnen.

Der nächste Schritt besteht im Wesentlichen darin, dies zu erkennen$1+(x+y+z)+(x+y+z)^2+\cdots$ist eine geometrische Reihe. Nachdem Sie diese Reihe summiert haben, haben Sie wie gewünscht eine Formel für den interagierenden Propagator in Form einer Summe nur der 1PI-Diagramme. Das ist Gl. 7,23 in Peskin