Wie interpretiert man Korrelationsfunktionen in QFT?

Ja, in der Skalarfeldtheorie$\langle 0 | T\{\phi(y) \phi(x)\} | 0 \rangle$ist die Amplitude, von der aus sich ein Teilchen ausbreitet$x$Zu$y$. Es gibt Vorbehalte, weil nicht alle QFTs Teilcheninterpretationen zulassen, aber für massive Skalarfelder mit höchstens mäßig starken Wechselwirkungen ist es richtig. Anwenden des Operators$\phi({\bf x},t)$zum Vakuum$|0\rangle$versetzt die QFT in den Zustand$|\delta_{\bf x},t \rangle$, wo es ein einzelnes Teilchen gibt, dessen Wellenfunktion zur Zeit$t$wird die Delta-Funktion unterstützt${\bf x}$. Wenn$x$kommt später als$y$, die Nummer$\langle 0 | \phi({\bf x},t)\phi({\bf y},t') | 0 \rangle$ist nur das innere Produkt von$| \delta_{\bf x},t \rangle$mit$| \delta_{\bf y},t' \rangle$.

Allerdings die Funktion$f(x,y) = \langle 0 | T\{\phi(y) \phi(x)\} | 0 \rangle$ist eigentlich keine Korrelationsfunktion im üblichen statistischen Sinne. Das kann nicht sein; es hat nicht einmal einen echten Wert. Es ist jedoch ein enger Verwandter einer Ehrlich-zu-Güte-Korrelationsfunktion.

Wenn Sie den Ersatz vornehmen$t=-i\tau$, drehen Sie die Aktion

$$iS = i\int dtd{\bf x} \{\phi(x)\Box\phi(x) - V(\phi(x))\}$$ der Skalarfeldtheorie auf $\mathbb{R}^{d,1}$in eine Energiefunktion $$-E(\phi) = -\int d\tau d{\bf x} \{\phi(x)\Delta\phi(x) + V(\phi(x))\}$$ die auf lebenden Skalarfeldern definiert ist $\mathbb{R}^{d+1}$. Ebenso das oszillierende Feynman-Integral $\int \mathcal{D}\phi e^{iS(\phi)}$wird ein Gibbs-Maß $\int \mathcal{D}\phi e^{-E(\phi)}$.

Das Gibbs-Maß ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge der klassischen Skalarfelder$\mathbb{R}^{d+1}$. Es hat Korrelationsfunktionen$g(({\bf x}, \tau),({\bf y},\tau')) = E[\phi({\bf x}, \tau)\phi({\bf y},\tau')]$. Diese Korrelationsfunktionen haben die Eigenschaft, dass sie analytisch zu komplexen Werten fortgeführt werden können$\tau$Form haben$\tau = e^{i\theta}t$mit$\theta \in [0,\pi/2]$. Wenn wir nehmen$\tau$so weit wir können, setzen Sie es gleich$i t$, erhalten wir die Minkowski-Signatur „Korrelationsfunktionen“$f(x,y) = g(({\bf x},it),({\bf y},it'))$.

So$f$ist eigentlich keine Korrelationsfunktion, sondern der Grenzwert der analytischen Fortsetzung einer Korrelationsfunktion. Aber das zu sagen dauert lange, also wird die Terminologie missbraucht.

NEIN,$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩$ist NICHT die Wahrscheinlichkeitsamplitude, von der aus sich ein Teilchen ausbreitet$x$Zu$y$, sogar für ein freies Skalarfeld. Es scheint ein allgemeiner Irrglaube zu sein, dass dies der Fall ist. Es gibt einen offensichtlichen Grund und einen tiefen Grund, warum das nicht sein kann.

Der offensichtliche Grund ist, dass das Quadrat dieses Wertes, der die Wahrscheinlichkeitsdichte sein soll, nicht zu 1 integriert wird (siehe Wikipedia ):

$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩=$

$$G_F(x,y) =\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4p\frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon} =\begin{cases} -\frac{1}{4\pi}\delta(s)+\frac{m}{8\pi\sqrt{s}}H_1^{(1)}(m\sqrt{s}) & s\ge 0\\ -\frac{im}{4\pi^2\sqrt{-s}}K_1(m\sqrt{-s}) & s<0 \end{cases}$$ Wo$s:=(x^0-y^0)^2-(\vec{x}-\vec{y})^2$, somit$\int dy_1 dy_2 dy_3\,|⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩|^2$ist unendlich (wenn überhaupt sinnvoll). Die Interpretation als „relative Wahrscheinlichkeitsamplitude“ behebt das nicht, weil die meiste „Wahrscheinlichkeit sich ausbreitet“.$x$Zu$y$' wäre ohnehin auf den Kegel konzentriert$s=0$wegen$\delta(s)$-Begriff.

Ein tieferer Grund ist, dass „Wahrscheinlichkeit“ keinen Sinn ergibt, bis ein Wahrscheinlichkeitsraum , dh die Menge möglicher Ergebnisse eines Experiments, eingeführt wird. Das Mindeste, was wir annehmen müssen, ist, dass sich diese Ergebnisse gegenseitig ausschließen . In der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist diese Menge eine orthonormale Basis in einem Hilbert-Raum (oder ein etwas allgemeineres Objekt wie die Menge von Delta-Funktionen, die an verschiedenen räumlichen Punkten unterstützt werden$\mathbf{y}$). Dann wird das Skalarprodukt mit den Basiselementen als Übergangswahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Aber für das freie Quantenfeld werden Delta-Funktionen an verschiedenen räumlichen Punkten unterstützt$\mathbf{y}$und gleichzeitig$t$sind nicht mehr orthogonal (in keinem Sinne):$⟨0|T{ϕ(\mathbf{y},t)ϕ(\mathbf{x},t)}|0⟩\ne 0$durch den obigen Ausdruck. Mit anderen Worten, man kann das Teilchen gleichzeitig an verschiedenen Punkten finden, was es einfach unmöglich macht, von der Wahrscheinlichkeitsdichte zu sprechen, ein Teilchen an einem Punkt zu finden. Daher ist das Skalarprodukt von$|δ_x,t⟩$mit$|δ_y,t'⟩$ kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden (abgesehen von der Frage, was diese Notation im Fock-Raum überhaupt bedeutet), ganz im Gegensatz zur Antwort von user1504.

Schließlich kann man kein Experiment zur Messung der Größe unter dem Namen „Wahrscheinlichkeit für die Ausbreitung eines freien Teilchens“ einführen$x$Zu$y$', weil die Messgenauigkeit der Teilchenkoordinaten nicht besser sein kann als die Teilchen-Compton-Wellenlänge.

Achtung: Sie haben absolut kein Verständnis für das freie Quantenfeld und schreiben nur, um eine Chance zu bekommen, von denen korrigiert zu werden, die es haben. Insbesondere wäre für eine Erklärung dankbar, was mit gemeint ist$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩$, wenn es sich nicht um eine Wahrscheinlichkeitsamplitude handelt. Mit dieser Frage hänge ich schon ziemlich lange fest.