Zwei Definitionen der Greenschen Funktion

In der Literatur existieren normalerweise zwei Arten von Definitionen für die Green-Funktion.

  1. L ^ G = δ ( x − x ' ) . Diese Gleichung besagt, dass die Green-Funktion eine Lösung für eine ODE ist, vorausgesetzt, die Quelle ist eine Delta-Funktion

  2. G = ⟨ T ψ ( x 1 , t 1 ) ψ † ( x 2 , t 2 ) ⟩ . Diese Definition besagt, dass Greens Funktion so etwas wie ein Propagator ist .

Ich möchte die interne Beziehung zwischen den beiden Definitionen kennen.

Antworten (4)

Erstens wird der Begriff "Propagator" üblicherweise als Green'sche Funktion des ersten Typs definiert, nicht des zweiten Typs, dh als Lösung der Differentialgleichung L ^ G = δ .

Jedenfalls sind diese Definitionen – bei richtiger Niederschrift der Details – letztlich äquivalent, weil die in der zweiten Definition als Korrelator definierte Green'sche Funktion der ersten Differentialgleichung gehorcht.

Der Differentialoperator L ^ erscheint in diesem Fall in den linearisierten Bewegungsgleichungen für das Feld ψ ( x 1 , t 1 ) , und es wirkt nur auf ψ ( x 1 , t 1 ) , nicht ψ † ( x 2 , t 2 ) .

Der zeitordnende Operator T kann in Bezug auf die Sprungfunktion geschrieben werden

T ( ψ ψ † ) = ψ ψ † ⋅ θ ( t 1 − t 2 ) − ψ † ψ ⋅ θ ( − t 1 + t 2 )
wo ψ ist immer dabei x 1 , t 1 und ψ † ist bei x 2 , t 2 . Fragen Sie nun, was passiert, wenn Sie mit handeln L ^ auf der rechten Seite der oben angezeigten Gleichung.

Nach der Leibniz-Regel gibt es die Terme mit L ^ ψ = 0 . Sie verschwindet durch die Bewegungsgleichungen. Aber es gibt zusätzliche Bedingungen, wo L ^ wirkt auf die Sprungfunktionen.

Der Betreiber L ^ enthält den Begriff, der in Bezug auf unterscheidet t 1 multipliziert mit einem Koeffizienten C . Das dreht sich θ ( t 1 − t 2 ) zu δ ( t 1 − t 2 ) . Das gleiche passiert im nächsten Term, aber mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, das das bereits vorhandene Vorzeichen aufhebt. Die zusätzlichen Bedingungen sind also

L ^ T ( ψ ψ † ) = C δ ( t 1 − t 2 ) ( ψ ψ † + ψ † ψ )
Ich habe zwei Begriffe bekommen, weil es zwei Begriffe gab. Diese beiden Terme verbinden sich jedoch genau zum Antikommutator von ψ und ψ † was nur ausgewertet werden muss t 1 = t 2 , der zeitgleiche Antikommutator, und das Ergebnis ist D ⋅ δ ( x 1 − x 2 ) .

Deshalb die Aktion von L ^ auf dem Korrelator endet C D δ ( t 1 − t 2 ) δ ( x 1 − x 2 ) wo die Konstanten C , D sind meistens nur Faktoren von ich usw.

Für bosonische Felder gilt: L ^ hat die zweite zeitliche Ableitung. Eines der Derivate hat das Schicksal wie oben, das andere dreht das andere um ϕ , die die Rolle von spielt ψ † , hinein ∂ t ϕ das ist das kanonische Momentum, und es ist die richtige Variable, die das hat δ -funktionsähnlicher Kommutator. Auch das Zwischenzeichen ist das Gegenteil, aber das Ergebnis ist teilweise dasselbe C D ⋅ δ ⋅ δ .

Setzt man den Propagator in die Bewegungsgleichung ein, erhält man a δ Funktion. Die zweite "Definition" ist nur eine Vorschrift, um die Green-Funktion in einer Freifeldtheorie zu berechnen.

Eine andere Möglichkeit, eine Äquivalenz zu finden, besteht darin, die Greensche Funktion durch die Gleichungslösungen auszudrücken - schreiben Sie ihre spektrale Darstellung auf:

G ( x 1 , x 2 , t 1 , t 2 ) = ∑ n ψ n ∗ ( x 1 ) ψ n ( x 2 ) e ich E n ( t 1 − t 2 )
oder sowas ähnliches.

die Gleichung G = i*propagador de particula libre Delta sub f) kann ebenfalls verwendet werden. Entsprechend der Evolutionsgleichung des betreffenden physikalischen Systems wird sein freier Teilchenpropagator seine besondere Form haben (skalar, fermionisch, photonisches Feld usw.)

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