Warum divergiert die Funktion von Green am selben Raumzeitpunkt?

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Warum divergiert die Funktion von Green am selben Raumzeitpunkt?

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Quantenfeldtheorie

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In $d+1$ dimensionale Quantenfeldtheorie wird die 2-Punkt-Green-Funktion am selben Raumzeitpunkt divergieren, wenn $d\geq1$ .

Wenn $d=0$ , $\phi(t)=q(t)$ , das ist der Fall von QM, und 2-Punkt-Green-Funktion am selben Raumzeitpunkt $\langle\Omega|T(q(t)q(t))|\Omega\rangle$ ist wohldefiniert.

Während $d \geq1$ , die 2-Punkt-Green-Funktion am selben Raumzeitpunkt $\langle\Omega|T(\phi(x)\phi(x))|\Omega\rangle$ wird divergieren.

Was ist also die physikalische oder mathematische Essenz dieser Divergenz? Besonders möchte ich das physikalische Bild im Pfadintegral kennen. Warum unterscheidet sich das zufällige Wandern eines Teilchens von dem einer Schnur?

Danu

Beachten Sie, dass die Funktionen von Green in Wirklichkeit Distributionen sind , die integriert werden sollten. Eine Delta-Dirac-Distribution ist nicht so problematisch, wenn sie integriert wird. Für eine hervorragende Darstellung lesen Sie Anhang A von Mukhanov & Winitzkis „Introduction to Quantum Fields in Classical Backgrounds“, das kostenlos online verfügbar ist.

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Warum divergiert die Funktion von Green am selben Raumzeitpunkt?

Beachten Sie, dass die Funktionen von Green in Wirklichkeit Distributionen sind , die integriert werden sollten. Eine Delta-Dirac-Distribution ist nicht so problematisch, wenn sie integriert wird. Für eine hervorragende Darstellung lesen Sie Anhang A von Mukhanov & Winitzkis „Introduction to Quantum Fields in Classical Backgrounds“, das kostenlos online verfügbar ist.

Benutzer159249 · Answer 1

Die einfache Idee ist die folgende. Bei kurzen Entfernungen untersuchen Sie den Hochenergiebereich (UV) der Theorie - Sie sind empfindlich für sehr kurze Wellenlängen. Nehmen wir zum Beispiel das freie Boson im Euklidischen:

⟨ ϕ (X) ϕ (0) ⟩ = \int \frac{D^{D} P}{(2 π)^{D}} \frac{e^{ich P \cdot X}}{P^{2} + M^{2}} .

$\langle \phi(x) \phi(0) \rangle \; = \int \frac{ d^dp}{(2\pi)^d} \frac{e^{ip\cdot x}}{p^2 + m^2}\,.$ Wenn

| x | > 0

$|x| > 0$ , der oszillierende Faktor

e^{i p \cdot x}

$e^{ip \cdot x}$ moduliert das Integral, und es gibt im Wesentlichen destruktive Interferenz, wenn

| p | ≳ 1 / | x |

$|p| \gtrsim 1/|x|$ . Mit anderen Worten, Sie erwarten diese Wellenlängen nicht

λ \sim 1 / | p | ≪ | x |

$\lambda \sim 1/|p| \ll |x|$ maßgeblich beitragen. Aber in der strengen Grenze

x \to 0

$x \to 0$ der oszillierende Faktor fällt weg und das verbleibende Integral

\int^{Λ} \frac{D^{D} P}{(2 π)^{D}} \frac{1}{P^{2} + M^{2}} \sim Λ^{D - 2}

$\int^\Lambda \frac{ d^dp}{(2\pi)^d} \frac{1}{p^2 + m^2} \sim \Lambda^{d-2}$ ist nur ein Maß für die Anzahl der Modi insgesamt

p

$p$ . Und das ist natürlich der große Unterschied: Die Anzahl der Zustände bei hoher Energie in Ihrem Hilbert-Raum ist empfindlich

d

$d$ .

Sie können ein ähnliches Argument auch für eine Wechselwirkungstheorie strenger vorbringen, indem Sie die Källen-Lehmann-Spektraldarstellung verwenden (siehe zB Peskin-Schroeder).

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Danu

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Benutzer159249

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